Упражнение 277 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 92

а) \(x^2 + 7x + 1 > -x^2 + 10x - 1\)

\(x^2 + 7x + 1 + x^2 - 10x + 1 > 0\)

\(2x^2 - 3x + 2 > 0\)

\(y = 2x^2 - 3x + 2\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(2x^2 - 3x + 2 = 0\)

\(D = (-3)^2 - 4\cdot 2 \cdot 2 =\)

\(=9 - 16 = -7 < 0\) - нет корней.

Ответ: \(x\) - любое число.

б) \(-2x^2 + 10x < 18 - 2x\)

\(-2x^2 + 10x - 18 + 2x < 0\)

\(-2x^2 + 12x - 18 < 0\)

\(y = -2x^2 + 12x - 18\) - парабола, ветви которой направлены вниз.

\(-2x^2 + 12x - 18 = 0\)   \( / : (-2)\)

\(x^2 - 6x + 9 = 0\)

\((x-3)^2 = 0\)

\(x-3=0\)

\(x = 3\)

Ответ: \(x \ne 3\).

Пояснения:

Выполняем перенос компонентов из правой части уравнения в левую со сменой знака и приводим подобные слагаемые.

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx + c > 0\) и \(ax^2 + bx + c < 0\):

1) находим корни квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\), если они есть;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечаем их на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\); если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при \(a > 0\) или нижней при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c > 0\)) или ниже оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c < 0\)).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной),

Дискриминант квадратного трехчлена

\(ax^2 + bx + c \):

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D < 0\), то квадратный трехчлен не имеет корней.

В пункте б) нашли корень квадратного трехчлена без дискриминанта, так как рассматриваемый квадратный трехчлен модно представить как квадрат двучлена по формуле квадрата разности:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).