Вернуться к содержанию учебника
Является ли пара чисел \((-2; 3)\) решением неравенства:
а) \(2x - 3y + 16 > 0\);
б) \(x^2 + 3xy - y^2 < 20\);
в) \((x + 3)^2 + (y - 4)^2 < 2\);
г) \((x + y)(y - 8) < 1\);
д) \(x^2 + y^2 - x - y \ge 0\);
е) \(3x^2 - 5y^2 + x - y < 11\)?
Вспомните:
\((-2; 3)\)
а) \(2x - 3y + 16>0\)
\(2\cdot(-2) - 3\cdot3 + 16 = -4 - 9 + 16 =\)
\(=-13 + 16 = 3\), \(3>0\) - верно.
Ответ: является.
б) \(x^2 + 3xy - y^2<20\)
\( (-2)^2 + 3\cdot(-2)\cdot3 - 3^2 =\)
\(=4 - 18 - 9 = 4 - 27 = -23\)
\(-23<20.\)
Ответ: является.
в) \((x + 3)^2 + (y - 4)^2<2\)
\((-2 + 3)^2 + (3 - 4)^2 = 1^2 + (-1)^2 =\)
\(=1 + 1 = 2\), \(2<2\) - неверно.
Ответ: не является.
г) \((x + y)(y - 8) <1\)
\( (-2 + 3)(3 - 8) = 1\cdot(-5) = -5\), \(-5<1\) - верно.
Ответ: является.
д) \(x^2 + y^2 - x - y \geq 0\)
\((-2)^2 + 3^2 - (-2) - 3 =\)
\(=4 + 9 + 2 - 3 = \)
\(=13 - 1 = 12\), \(12\geq 0\) - верно.
Ответ: является.
е) \(3x^2 - 5y^2 + x - y <11\)
\(3\cdot(-2)^2 - 5\cdot3^2 + (-2) - 3 =\)
\(=3\cdot4 - 5\cdot9 - 2 - 3 = \)
\(=12 - 45 - 5 = -33 - 5 = -38\), \(-38<11.\)
Ответ: является.
Пояснения:
Основные правила, которые используются при решении:
Чтобы проверить, является ли пара чисел \((x_0; y_0)\) решением неравенства, нужно подставить \(x = x_0\) и \(y = y_0\) в левую часть неравенства и вычислить значение выражения. После подстановки выполняем арифметические действия: сначала умножения и возведение в степень, затем сложение и вычитание, в конце сравниваем полученное число с правой частью неравенства.
Рассмотрим каждое неравенство.
а) Подставляем \(x = -2\), \(y = 3\) в выражение \(2x - 3y + 16\):
\[2\cdot(-2) - 3\cdot3 + 16 = -4 - 9 + 16 = -13 + 16 = 3.\]
Сравниваем: \(3 > 0\). Неравенство выполняется, значит пара \((-2; 3)\) является решением пункта а).
б) Подставляем в \(x^2 + 3xy - y^2\):
\[(-2)^2 + 3\cdot(-2)\cdot3 - 3^2 = 4 - 18 - 9 = 4 - 27 = -23.\]
Получили число \(-23\). Сравниваем с 20: \[ -23 < 20. \] Неравенство выполняется, пара \((-2; 3)\) — решение пункта б).
в) Подставляем в \((x + 3)^2 + (y - 4)^2\):
\[(-2 + 3)^2 + (3 - 4)^2 = 1^2 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2.\]
Сравниваем с 2: \(2 < 2 \) не выполняется, так как левая и правая части равны. Значит, неравенство не выполняется, и пара \((-2; 3)\) не является решением пункта в).
г) Подставляем в \((x + y)(y - 8)\):
\[(-2 + 3)(3 - 8) = 1\cdot(-5) = -5.\]
Сравниваем с 1: \[ -5 < 1. \] Неравенство выполняется, пара \((-2; 3)\) является решением пункта г).
д) Подставляем в \(x^2 + y^2 - x - y\):
\[(-2)^2 + 3^2 - (-2) - 3 = 4 + 9 + 2 - 3 = 13 - 1 = 12.\]
Сравниваем: \( 12 \ge 0. \) Неравенство выполняется, пара \((-2; 3)\) является решением пункта д).
е) Подставляем в \(3x^2 - 5y^2 + x - y\):
\[3\cdot(-2)^2 - 5\cdot3^2 + (-2) - 3 = 3\cdot4 - 5\cdot9 - 2 - 3 = 12 - 45 - 5 = -38.\]
Сравниваем: \[ -38 < 11. \] Неравенство выполняется, следовательно, пара \((-2; 3)\) является решением пункта е).
Итог: пара чисел \((-2; 3)\) является решением неравенств а), б), г), д), е) и не является решением неравенства в).
Вернуться к содержанию учебника