Упражнение 584 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 166

\(17,\,14,\,11,\,\ldots\) - арифметическая прогрессия.

\(a_1=17,\)

\(d=14 - 17=-3\).

\(S_n>0\)

\(S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\,n=\)

\(=\dfrac{2\cdot17+(-3)\cdot(n-1)}{2}\,n=\)

\(=\dfrac{34-3n+3}{2}\,n=\dfrac{-3n+37}{2}\,n\).

\(\dfrac{-3n+37}{2}\,n > 0\)  \(/\times2\)

\((-3n + 37)n > 0\)

\(n\in N\), значит, \(n>0\), то:

\(-3n + 37>0\)

\(-3n > -37\)  \(/\times(-1)\)

\(3n<37\)

\(n<\dfrac{37}{3}\)

\(n<12\dfrac{1}{3}\)

\(n=12\) - наибольшее число членов арифметической прогрессии, при сложении которых получается положительное число.

Ответ: \(n=12\).

Пояснения:

Последовательность \(17,14,11,\ldots\) — арифметическая прогрессия с разностью \(d=-3\), то есть её члены убывают.

Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии выражается формулой:

\(S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\,n\).

Подставляя \(a_1=17\) и \(d=-3\), получаем \(S_n=\dfrac{-3n+37}{2}\,n\). Чтобы сумма была положительной, нужно \(S_n>0\). Так как \(n>0\), знак суммы определяется выражением \(37-3n\). Отсюда \(n<12\dfrac{1}{3}\), и максимальное натуральное \(n\) равно 12.