Упражнение 583 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 166

\(3,\,5,\,7,\,\ldots\) - арифметическая прогрессия.

\(a_1=3,\quad d= 5 - 3=2\)

\(S_n \le 120\)

\(S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\,n=\)

\(=\dfrac{2\cdot3+2\cdot(n-1)}{2}\,n=\)

\(=\dfrac{6+2n-2}{2}\,n=\dfrac{2n+4}{2}\,n=\)

\(=\dfrac{\cancel2(n+2)}{\cancel2}\,n=(n + 2)n=\)

\(=n^2 + 2n.\)

\(n^2 + 2n \le 120\)

\(n^2 + 2n -120 \le 0\)

\(y = n^2 + 2n -120\) - парабола, ветви вверх.

\(n^2 + 2n -120 = 0\)

\(D=2^2-4\cdot1\cdot(-120)=\)

\(=4+480=484 > 0\) - два корня.

\(\sqrt{484}=22\).

\(n_1=\dfrac{-2+22}{2\cdot1} =\dfrac{20}{2} = 10.\)

\(n_2=\dfrac{-2-22}{2\cdot1} =\dfrac{-24}{2} = -12.\)

\(n \in [12;\, 10]\) и \(n \in N\)

\(0 < n \le 10\)

\(n=10\) - наибольшее число членов арифметической прогрессии.

Ответ: \(n=10\).

Пояснения:

Последовательность \(3,5,7,\ldots\) является арифметической прогрессией с первым членом \(3\) и разностью \(2\).

Сумма первых \(n\) членов такой прогрессии выражается формулой:

\(S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\,n\).

После подстановки значений получаем неравенство \(n(n+2)\le120\). Его решение показывает, что максимальное допустимое число членов — \(n=10\).

Квадратное уравнение

\(a^2 + bx + c = 0\)

решаем через дискриминант

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).