Упражнение 587 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 166

а) \( \begin{cases} 9x^2 + 9y^2 = 13,\\ 3xy = 2  /\times6 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 9x^2 + 9y^2 = 13,\\ 18xy = 12 \end{cases} \) \((+)\)

\(9x^2 + 9y^2 + 18xy = 13 + 12\)

\((3x)^2 + 2\cdot3x\cdot3y +(3y)^2 = 25\)

\((3x + 3y)^2 = 25\)

\(3x + 3y = \pm5\)

1) \( \begin{cases} 3x + 3y = 5,\\ 3xy = 2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 3y = 5 - 3x,  / : 3 \\ 3xy = 2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = \dfrac{5 - 3x}{3},\\[6pt] 3x\cdot\dfrac{5 - 3x}{3} = 2 \end{cases} \)

\(\cancel3x\cdot\dfrac{5 - 3x}{\cancel3} = 2\)

\(x(5-3x) = 2\)

\(5x - 3x^2 - 2 = 0\)  \(/\times (-1)\)

\(3x^2 - 5x + 2 = 0\)

\(D = (-5)^2 - 4\cdot3\cdot2 =\)

\(=25 - 24 = 1 > 0\) - два корня.

\(\sqrt1 = 1\)

\(x_{1} = \frac{5 + 1}{2\cdot3} =\frac{6}{6} = 1\).

\(x_{2} = \frac{5 - 1}{2\cdot3} =\frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).

Если \(x = 1\), то

\(y = \dfrac{5 - 3\cdot1}{3} = \dfrac{2}{3}\).

Если \(x = \frac{2}{3}\), то

\(y = \dfrac{5 - 3\cdot\frac{2}{3}}{3} = \dfrac{5 - 2}{3} = \dfrac{3}{3} = 1\).

2) \( \begin{cases} 3x + 3y = -5,\\ 3xy = 2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 3y = -5 - 3x,  / : 3 \\ 3xy = 2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = \dfrac{-5 - 3x}{3},\\[6pt] 3x\cdot\dfrac{-5 - 3x}{3} = 2 \end{cases} \)

\(\cancel3x\cdot\dfrac{-5 - 3x}{\cancel3} = 2\)

\(x(-5 - 3x) = 2\)

\(-5x - 3x^2 - 2 = 0\)  \(/\times (-1)\)

\(3x^2 + 5x + 2 = 0\)

\(D = 5^2 - 4\cdot3\cdot2 =\)

\(=25 - 24 = 1 > 0\) - два корня.

\(\sqrt1 = 1\)

\(x_{1} = \frac{-5 + 1}{2\cdot3} =-\frac{4}{6} = -\frac23\).

\(x_{2} = \frac{-5 - 1}{2\cdot3} =-\frac{6}{6} = -1\).

Если \(x = -\frac{2}{3}\), то

\(y = \dfrac{-5 - 3\cdot(-\frac{2}{3})}{3} = \dfrac{-5 + 2}{3} =\)

\(=-\dfrac{3}{3} = -1\).

Если \(x = -1\), то

\(y = \dfrac{-5 - 3\cdot(-1)}{3} =\dfrac{-5 + 3}{3} = -\dfrac{2}{3}\)

Ответ: \(\left(1;\frac{2}{3}\right),\ \left(\frac{2}{3};1\right),\)

\(\left(-1;-\frac{2}{3}\right),\ \left(-\frac{2}{3};-1\right)\)

б) \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 29,  \\ y^2 - 4x^2 = 9    /\times(-1) \end{cases} \)

\( \begin{cases} x^2 + y^2 = 29,  \\ 4x^2 - y^2 = -9 \end{cases} \)  \((+)\)

\(( x^2 + y^2) + (4x^2 - y^2) = 29 + (-9)\)

\( x^2 + \cancel{y^2} + 4x^2 - \cancel{y^2} = 20\)

\(5x^2 = 20\)

\(x^2 = \frac{20}{5}\)

\(x^2 = 4\)

\(x = \pm2\)

Если \(x = 2\), то

\(2^2 + y^2 = 29\)

\(4 + y^2 = 29\)

\(y^2 = 29 - 4\)

\(y^2 = 25\)

\(y = \pm5\)

Если \(x = -2\), то

\((-2)^2 + y^2 = 29\)

\(4 + y^2 = 29\)

\(y^2 = 29 - 4\)

\(y^2 = 25\)

\(y = \pm5\)

Ответ: \((2;5),\,(2;-5),\)

\((-2;5),(-2;-5)\).

в) \( \begin{cases} 2x^2 + xy = 6,\\ 3x^2 + xy - x = 6 \end{cases} \)  \((-)\)

\(( 2x^2 + xy) - (3x^2 + xy - x) = 6-6\)

\( 2x^2 + \cancel{xy} - 3x^2 - \cancel{xy} + x = 0\)

\(-x^2 + x = 0\)

\(-x(x - 1) = 0\)

\(x = 0\)  или  \(x - 1 = 0\)

                    \(x = 1\)

Если \(x = 0\), то

\(2\cdot0^2+0\cdot y=6\)

\(0 = 6\) — неверно, решений нет.

Если \(x=1\), то

\(2 \cdot1^2+ 1\cdot y=6 \)

\(2 + y = 6\)

\(y = 6 - 2\)

\(y=4\)

Ответ: \((1;4)\).

г) \( \begin{cases} 3x^2 - 2y^2 = 25,\\ x^2 - y^2 + y = 5 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 3(5+y^2-y) - 2y^2 = 25,\\ x^2=5+y^2-y \end{cases} \)

\(3(5+y^2-y)-2y^2=25\)

\(15+3y^2-3y-2y^2-25 = 0\)

\(y^2-3y-10=0\)

\(D = (-3)^2 - 4\cdot1\cdot(-10) = \)

\(=9 + 40 = 49 > 0\) - два корня.

\(\sqrt {49} = 7\).

\(x_1 = \frac{3 + 7}{2\cdot1} = \frac{10}{2} = 5\).

\(x_2 = \frac{3 - 7}{2\cdot1} = \frac{-4}{2} = -2\).

Если \(y=5\), то

\(x^2= 5 + 5^2 - 5\)

\(x^2 = 25\)

\(x=\pm5\)

Если \(y=-2\), то

\(x^2= 5 + (-2)^2 - (-2)\)

\(x^2 = 11\)

\(x=\pm\sqrt{11}\)

Ответ: \((5;5),\,(-5;5),\)

\((\sqrt{11};-2),(-\sqrt{11};-2)\).

---

Пояснения:

Системы решаем с помощью методов сложения (вычитания) и подстановки.

Алгоритм решения системы линейных уравнений методом сложения:

1) подобрав "выгодные" множители (если это необходимо), преобразовать одно или оба уравнения системы так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;

2) сложить почленно левые и правые части уравнений, полученных на первом шаге;

3) решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге;

4) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы;

5) вычислить значение другой переменной.

Алгоритм решения системы линейных уравнений методом подстановки:

1) выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую;

2) подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной выражение, полученное на первом шаге;

3) решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге;

4) подставить найденное значение переменной в выражение, полученное на первом шаге;

5) вычислить значение другой переменной.

Использованные приемы:

Свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).

Распределительное свойство:

\(k(a \pm b) = ka \pm kb\).

Квадратное уравнение

\(a^2 + bx + c = 0\)

решаем через дискриминант

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Неполное квадратное уравнение

\(x^2 = a\), при \(a > 0\) имеет корни

\(x_1 = \sqrt a\) и \(x_2 = \sqrt a\).

Произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

\(ab = 0 \Leftrightarrow a = 0 \) или \(b = 0\).