Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№591 учебника 2023-2026 (стр. 171):
Последовательность \((x_n)\) — геометрическая прогрессия. Найдите:
а) \(x_7\), если \(x_1 = 16,\ q = \dfrac12\);
б) \(x_8\), если \(x_1 = -810,\ q = \dfrac13\);
в) \(x_{10}\), если \(x_1 = \sqrt2,\ q = -\sqrt2\);
г) \(x_6\), если \(x_1 = -125,\ q = 0{,}2\);
д) \(x_5\), если \(x_1 = \dfrac34,\ q = \dfrac23\);
е) \(x_4\), если \(x_1 = 1{,}8,\ q = \dfrac{\sqrt3}{3}\).
№591 учебника 2014-2022 (стр. 153):
Содержит ли арифметическая прогрессия \(2;\ 9;\ \ldots\) число:
а) \(156\);
б) \(295\)?
№591 учебника 2023-2026 (стр. 171):
№591 учебника 2014-2022 (стр. 153):
Вспомните:
№591 учебника 2023-2026 (стр. 171):
а) \(x_7 = 16\cdot\left(\dfrac12\right)^{7-1} =\)
\(=16\cdot\left(\dfrac12\right)^6 = \dfrac{16}{64} = \dfrac14\).
б) \(x_8 = -810\cdot\left(\dfrac13\right)^{8-1} =\)
\(=-810\cdot\left(\dfrac13\right)^7 = -\dfrac{810}{2187} =\)
\(= -\dfrac{270}{729} = -\dfrac{10}{27}\).
в) \(x_{10} = \sqrt2\cdot(-\sqrt2)^{10-1} =\)
\(=\sqrt2\cdot(-\sqrt2)^9 = \sqrt2\cdot(-1)^9\cdot(\sqrt2)^9 =\)
\(=-(\sqrt2)^{10} = -2^5 = -32\).
г) \(x_6 = -125\cdot(0{,}2)^{6-1} =\)
\(=-125\cdot(0{,}2)^5 = -125\cdot0{,}00032 = -0{,}04\).
| × | 1 | 2 | 5 | ||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 3 | 2 | ||
| + | 2 | 5 | 0 | ||||
| 3 | 7 | 5 | |||||
| 0 | 0 | 4 | 0 | 0 | 0 |
д) \(x_5 = \dfrac34\cdot\left(\dfrac23\right)^{5-1} =\)
\(=\dfrac34\cdot\left(\dfrac23\right)^4 = \dfrac34\cdot\dfrac{16}{81} =\)
\(= \dfrac{\cancel{3}{\color{red}{^1}}\cdot\cancel{16}{\color{blue}{^4}}}{\cancel{4}_{\color{blue}{1}}\cdot\cancel{81}_{\color{red}{27}}} = \dfrac{4}{27}\).
е) \(x_4 = 1{,}8\cdot\left(\dfrac{\sqrt3}{3}\right)^{4-1} = 1{,}8\cdot\left(\dfrac{\sqrt3}{3}\right)^3 =\)
\(=\frac{18}{10}\cdot\dfrac{\cancel3{\color{red}{^1}}\sqrt3}{\cancel{27}_{\color{red}9}} = \dfrac{\cancel{18}{\color{red}{\cancel{^2}{\color{blue}{^1}}}}\cdot\sqrt3}{\cancel{10}_{\color{blue}{5}}\cdot\cancel9_{\color{red}{1}}} =\frac{\sqrt3}{5}\).
Пояснения:
Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.
Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии имеет вид:
\[ b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}. \]
Для нахождения требуемых членов прогрессии в каждом пункте используется эта формула: подставляется значение первого члена \(x_1\), знаменателя \(q\) и номера искомого члена \(n\).
В пункте в) используется свойство степеней и корней: \[ (\sqrt2)^2 = 2, \] что позволяет упростить выражение и получить целое число.
В пунктах г) и е) показано возведение десятичной дроби и дроби с корнем в степень с последующим упрощением результата.
№591 учебника 2014-2022 (стр. 153):
Арифметическая прогрессия:
\(2;\ 9;\ \ldots\)
\(a_1=2,\ a_2=9\)
\(d=9-2=7\)
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n =2 + (n - 1)\cdot7\)
\(a_n = 2 + 7n - 7\)
\(a_n=7n-5\)
а) \(a_n = 156\)
\(7n-5=156\)
\(7n=156 + 5\)
\(7n=161\)
\(n = \frac{161}{7}\)
\(n=23 \in N\)
Ответ: число \(156\) является членом прогрессии.
б) \(a_n = 295\)
\(7n-5=295\)
\(7n = 295 + 5\)
\(7n=300\)
\(n=\dfrac{300}{7}\)
\(n = 42\dfrac{6}{7} \notin N\)
Ответ: число \(295\) не является членом прогрессии.
Пояснения:
Арифметическая прогрессия \(2; 9; \ldots\) имеет первый член \(a_1=2\) и разность \(d=7\).
Любой член этой прогрессии можно найти по формуле:
\[a_n=a_1+(n-1)d.\]
Чтобы проверить, принадлежит ли число данной прогрессии, его приравнивают к выражению для \(a_n\) и решают полученное уравнение относительно \(n\).
Если найденное значение \(n\) — натуральное число, то данное число является членом прогрессии. Если \(n\) не является натуральным числом, то данное число не входит в прогрессию.
Вернуться к содержанию учебника