Вернуться к содержанию учебника
Найдите шестой и \(n\)-й члены геометрической прогрессии:
а) \(48;\ 12;\ \ldots\);
б) \(\dfrac{64}{9};\ -\dfrac{32}{3};\ \ldots\);
в) \(-0{,}001;\ -0{,}01;\ \ldots\);
г) \(-100;\ 10;\ \ldots\).
Вспомните:
а) \(b_1 = 48,\ b_2 = 12\)
\(q =\frac{b_2}{b_1}= \dfrac{12}{48} = \dfrac14\).
\(b_6 =b_1q^{6-1}= 48\cdot\left(\dfrac14\right)^{6-1} =\)
\(= 48\cdot\left(\dfrac14\right)^5 = \dfrac{48}{1024} = \dfrac{3}{64}\).
\(b_n = 48\cdot\left(\dfrac14\right)^{n-1}\).
б) \(b_1 = \dfrac{64}{9},\ b_2 = -\dfrac{32}{3}\)
\(q =\frac{b_2}{b_1}= \frac{-32}{3}:\frac{64}{9} =\)
\(=\frac{-32}{3}\cdot\frac{9}{64}=-\frac{\cancel{32}{\color{red}{^1}}\cdot\cancel9{\color{blue}{^3}}}{\cancel3_{\color{blue}{1}}\cdot\cancel{64}_{\color{red}{2}}}= -\dfrac{3}{2}\).
\(b_6 =b_1q^{6-1}= \dfrac{64}{9}\cdot\left(-\dfrac32\right)^{6-1} =\)
\(=\dfrac{64}{9}\cdot\left(-\dfrac32\right)^5 = \dfrac{64}{9}\cdot\left(-\dfrac{243}{32}\right)=\)
\(=-\frac{\cancel{64}{\color{red}{^2}}\cdot\cancel{243}{\color{blue}{^{27}}}}{\cancel9_{\color{blue}{1}}\cdot\cancel{{32}}_{\color{red}{1}}}= -54\).
\(b_n = \dfrac{64}{9}\cdot\left(-\dfrac32\right)^{n-1}\).
в) \(b_1 = -0{,}001,\ b_2 = -0{,}01\)
\(q =\frac{b_2}{b_1}= \dfrac{-0{,}01}{-0{,}001} = 10\).
\(b_6 =b_1q^{6-1}= -0{,}001\cdot10^{6-1} =\)
\(=-0{,}001\cdot10^5 = -100\).
\(b_n = -0{,}001\cdot10^{n-1}\).
г) \(b_1 = -100,\ b_2 = 10\)
\(q =\frac{b_2}{b_1}= \dfrac{10}{-100} = -\dfrac{1}{10}\).
\(b_6 =b_1q^{6-1}= -100\cdot\left(-\dfrac{1}{10}\right)^{6-1} =\)
\(=-100\cdot\left(-\dfrac{1}{10}\right)^5 =\)
\(= -100\cdot\left(-\dfrac{1}{100000}\right) =\dfrac{1}{1000}\).
\(b_n = -100\cdot\left(-\dfrac{1}{10}\right)^{n-1}\).
Пояснения:
Геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.
Знаменатель геометрической прогрессии находится по формуле:
\[ q = \dfrac{b_{n+1}}{b_n}. \]
Общий вид \(n\)-го члена геометрической прогрессии:
\[ b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}. \]
Шестой член геометрической прогрессии находится по формуле:
\[ b_6 = b_1 \cdot q^{5}. \]
В каждом пункте сначала находится знаменатель \(q\), затем по формулам вычисляется шестой член и записывается выражение для \(n\)-го члена прогрессии.
Вернуться к содержанию учебника