Вернуться к содержанию учебника
Последовательность \((b_n)\) — геометрическая прогрессия. Найдите:
а) \(b_6\), если \(b_1 = 125,\ b_3 = 5\);
б) \(b_7\), если \(b_1 = -\dfrac{2}{9},\ b_3 = -2\);
в) \(b_1\), если \(b_4 = -1,\ b_6 = -100\).
Вспомните:
а) \(b_1 = 125,\ b_3 = 5\);
\(b_n = b_1\cdot q^{n-1}\).
\(b_3 = b_1\cdot q^{3-1}\).
\(5 = 125\cdot q^2\).
\(q^2 = \dfrac{5}{125} = \dfrac{1}{25}\).
\(q = \dfrac{1}{5}\) или \(q = -\dfrac{1}{5}\).
\(b_6 = 125\cdot q^{6-1} = 125\cdot q^5\).
\(b_6 = 125\cdot\left(\dfrac{1}{5}\right)^5 = \dfrac{1}{25}\);
или
\(b_6 = 125\cdot\left(-\dfrac{1}{5}\right)^5 = -\dfrac{1}{25}\).
Ответ: \(b_6=\pm\frac{1}{25}.\)
б) \(b_1 = -\dfrac{2}{9},\ b_3 = -2\);
\(|b_2|=\sqrt{b_1\cdot b_3}=\sqrt{-\frac{2}{9}\cdot(-2)}=\)
\(=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac23\)
\(b_2=\frac23\) или \(b_2=-\frac23\)
\(q=\frac{b_2}{b_1}.\)
Тогда:
\(q=\frac{2}{3}:\biggl(-\frac{2}{9}\biggr)=-\frac23\cdot\frac92=-3\)
или
\(q=-\frac{2}{3}:\biggl(-\frac{2}{9}\biggr)=\frac23\cdot\frac92=3.\)
\(b_n=b_1q^{n-1}\)
\(b_7 = -\dfrac{2}{9}\cdot q^{7-1} = -\dfrac{2}{9}\cdot q^6\).
\(b_7 = -\dfrac{2}{9}\cdot3^6 = -162;\)
или
\(b_7 = -\dfrac{2}{9}\cdot(-3)^6 = -162.\)
Ответ: \(b_7=-162.\)
в) \(b_4 = -1,\ b_6 = -100\)
\(|b_5|=\sqrt{b_4\cdot b_6}=\sqrt{-1\cdot(-100)}=\)
\(=\sqrt{100}=10\)
\(b_5 =10\) или \(b_5 =-10.\)
\(q=\frac{b_5}{b_4}.\)
Тогда:
\(q=\frac{10}{-1}=-10\)
или
\(q=\frac{-10}{-1}=10.\)
\(b_n=b_1q^{n-1}\)
\(b_4 = b_1\cdot q^{4-1}\).
\(b_1 = \dfrac{b_4}{q^3}\).
\(b_1 = \dfrac{-1}{10^3} = -\dfrac{1}{1000}=-0,001;\)
или
\(b_1 = \dfrac{-1}{(-10)^3} = \dfrac{1}{1000}=0,001.\)
Ответ: \(b_1 =\pm0,001.\)
Пояснения:
Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии. Справедливо, что:
\(b_{n+1}=b_{n}q\), откуда, \(q=\frac{b_{n+1}}{b_n}.\)
Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии:
\[ b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}. \]
Свойство геометрической прогрессии:
Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего ее членов.
\(b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1},\) следовательно, \(|b_n|=\sqrt{b_{n-1}\cdot b_{n+1}}.\)
Вернуться к содержанию учебника