Упражнение 599 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(b_1 = 125,\ b_3 = 5\);

\(b_n = b_1\cdot q^{n-1}\).

\(b_3 = b_1\cdot q^{3-1}\).

\(5 = 125\cdot q^2\).

\(q^2 = \dfrac{5}{125} = \dfrac{1}{25}\).

\(q = \dfrac{1}{5}\) или \(q = -\dfrac{1}{5}\).

\(b_6 = 125\cdot q^{6-1} = 125\cdot q^5\).

\(b_6 = 125\cdot\left(\dfrac{1}{5}\right)^5 = \dfrac{1}{25}\);

или

\(b_6 = 125\cdot\left(-\dfrac{1}{5}\right)^5 = -\dfrac{1}{25}\).

Ответ: \(b_6=\pm\frac{1}{25}.\)

б)  \(b_1 = -\dfrac{2}{9},\ b_3 = -2\);

\(|b_2|=\sqrt{b_1\cdot b_3}=\sqrt{-\frac{2}{9}\cdot(-2)}=\)

\(=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac23\)

\(b_2=\frac23\)     или    \(b_2=-\frac23\)

\(q=\frac{b_2}{b_1}.\)

Тогда:

\(q=\frac{2}{3}:\biggl(-\frac{2}{9}\biggr)=-\frac23\cdot\frac92=-3\)

или

\(q=-\frac{2}{3}:\biggl(-\frac{2}{9}\biggr)=\frac23\cdot\frac92=3.\)

\(b_n=b_1q^{n-1}\)

\(b_7 = -\dfrac{2}{9}\cdot q^{7-1} = -\dfrac{2}{9}\cdot q^6\).

\(b_7 = -\dfrac{2}{9}\cdot3^6 = -162;\)

или

\(b_7 = -\dfrac{2}{9}\cdot(-3)^6 = -162.\)

Ответ: \(b_7=-162.\)

в) \(b_4 = -1,\ b_6 = -100\)

\(|b_5|=\sqrt{b_4\cdot b_6}=\sqrt{-1\cdot(-100)}=\)

\(=\sqrt{100}=10\)

\(b_5 =10\)    или   \(b_5 =-10.\) 

\(q=\frac{b_5}{b_4}.\)

Тогда:

\(q=\frac{10}{-1}=-10\)

или

\(q=\frac{-10}{-1}=10.\)

\(b_n=b_1q^{n-1}\)

\(b_4 = b_1\cdot q^{4-1}\).

\(b_1 = \dfrac{b_4}{q^3}\).

\(b_1 = \dfrac{-1}{10^3} = -\dfrac{1}{1000}=-0,001;\)

или

\(b_1 = \dfrac{-1}{(-10)^3} = \dfrac{1}{1000}=0,001.\)

Ответ: \(b_1 =\pm0,001.\)

Пояснения:

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии. Справедливо, что:

\(b_{n+1}=b_{n}q\), откуда, \(q=\frac{b_{n+1}}{b_n}.\)

Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии:

\[ b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}. \]

Свойство геометрической прогрессии:

Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего ее членов.

\(b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1},\) следовательно,  \(|b_n|=\sqrt{b_{n-1}\cdot b_{n+1}}.\)

\(\begin{cases} 3x+y=2,\\ x^2-y^2=-12 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y=2-3x,\\ x^2-(2-3x)^2=-12 \end{cases}\)

\(x^2-(2-3x)^2=-12\)

\(x^2-(4-12x+9x^2)=-12\)

\(x^2-4+12x-9x^2+12=0\)

\(-8x^2+12x+8=0\)  \(/ : (-4)\)

\(2x^2-3x-2=0\)

\(D=(-3)^2-4\cdot2\cdot(-2)=\)

\(=9+16=25 > 0\) - два корня.

\(\sqrt{25} = 5\).

\(x_1=\dfrac{3+5}{2\cdot2} =\dfrac{8}{4} = 2. \)

\(x_2=\dfrac{3-5}{2\cdot2} =\dfrac{-2}{4} = -\dfrac12 = -0,5. \)

Если \(x=2\), то

\(y=2-3\cdot2=-4\).

Если \(x=-0,5\), то

\(y=2-3\cdot(-0,5)=2 + 1,5 = 3,5.\)

Ответ: \((2;\,-4)\) и \((-0,5; \, 3,5)\).

Пояснения:

Систему решаем методом подстановки. В системе одно линейное и одно квадратное уравнение. Удобно выразить одну переменную из линейного уравнения и подставить её во второе.

После подстановки получается квадратное уравнение относительно одной переменной \(x\).

Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\)

решаем через дискриминант

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Для каждого найденного значения \(x\) подставляем его в выражение для \(y\), чтобы получить соответствующую пару \((x,y)\).

В результате система имеет два решения.