Вернуться к содержанию учебника
Между числами \(2\) и \(162\) вставьте такие три числа, которые вместе с данными числами образуют геометрическую прогрессию.
\(2; b_2; b_3; b_4; 162\) - геометрическая прогрессия.
\(b_1 = 2,\ b_5 = 162\).
\(b_n=b_1q^{n-1}\)
\(b_5 = b_1\cdot q^{4}\)
\(q^4=\frac{b_5}{b_1}=\frac{162}{2}=81\)
\(q = 3\) или \(q = -3\).
\(q = 3:\)
\( b_2=b_1q= 2\cdot3=6\)
\( b_3=b_1q^2=2\cdot3^2=18\)
\( b_4=b_1q^3=2\cdot3^3=54\).
\(2;\ {\color{blue}{6;\ 18;\ 54}};\ 162\).
\(q = -3:\)
\( b_2=b_1q= 2\cdot(-3)=-6\)
\( b_3=b_1q^2=2\cdot(-3)^2=18\)
\( b_4=b_1q^3=2\cdot(-3)^3=-54\).
\(2;\ {\color{blue}{-6;\ 18;\ -54}};\ 162\).
Ответ: \(6;\ 18;\ 54\) или \(-6;\ 18;\ -54.\)
Пояснения:
Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.
Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии:
\[ b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}. \]
Так как между числами \(2\) и \(162\) нужно вставить три числа, вся прогрессия состоит из пяти членов. Поэтому используется формула:
\[ b_5 = b_1 \cdot q^4. \]
После подстановки значений получаем уравнение \(q^4 = 81\), из которого находятся два возможных значения знаменателя: \(q=3\) и \(q=-3\).
При \(q=3\) все члены прогрессии положительные. При \(q=-3\) знаки членов чередуются, но крайние члены всё равно равны \(2\) и \(162\). Оба варианта удовлетворяют условию задачи.
Вернуться к содержанию учебника