Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№600 учебника 2023-2026 (стр. 172):
Между числами \(2\) и \(162\) вставьте такие три числа, которые вместе с данными числами образуют геометрическую прогрессию.
№600 учебника 2014-2022 (стр. 154):
Решите уравнение:
а) \(x^3+4x^2-32x=0\);
б) \(x^3-10x^2+4x-40=0\).
№600 учебника 2023-2026 (стр. 172):
№600 учебника 2014-2022 (стр. 154):
Вспомните:
№600 учебника 2023-2026 (стр. 172):
\(2; b_2; b_3; b_4; 162\) - геометрическая прогрессия.
\(b_1 = 2,\ b_5 = 162\).
\(b_n=b_1q^{n-1}\)
\(b_5 = b_1\cdot q^{4}\)
\(q^4=\frac{b_5}{b_1}=\frac{162}{2}=81\)
\(q = 3\) или \(q = -3\).
\(q = 3:\)
\( b_2=b_1q= 2\cdot3=6\)
\( b_3=b_1q^2=2\cdot3^2=18\)
\( b_4=b_1q^3=2\cdot3^3=54\).
\(2;\ {\color{blue}{6;\ 18;\ 54}};\ 162\).
\(q = -3:\)
\( b_2=b_1q= 2\cdot(-3)=-6\)
\( b_3=b_1q^2=2\cdot(-3)^2=18\)
\( b_4=b_1q^3=2\cdot(-3)^3=-54\).
\(2;\ {\color{blue}{-6;\ 18;\ -54}};\ 162\).
Ответ: \(6;\ 18;\ 54\) или \(-6;\ 18;\ -54.\)
Пояснения:
Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.
Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии:
\[ b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}. \]
Так как между числами \(2\) и \(162\) нужно вставить три числа, вся прогрессия состоит из пяти членов. Поэтому используется формула:
\[ b_5 = b_1 \cdot q^4. \]
После подстановки значений получаем уравнение \(q^4 = 81\), из которого находятся два возможных значения знаменателя: \(q=3\) и \(q=-3\).
При \(q=3\) все члены прогрессии положительные. При \(q=-3\) знаки членов чередуются, но крайние члены всё равно равны \(2\) и \(162\). Оба варианта удовлетворяют условию задачи.
№600 учебника 2014-2022 (стр. 154):
а) \(x^3+4x^2-32x=0\)
\(x(x^2+4x-32)=0\)
\(x=0\) или \(x^2+4x-32=0\)
\(D=4^2-4\cdot1\cdot(-32)=\)
\(=16+128=144 > 0\) - два корня.
\(\sqrt{144}=12\).
\(x_1=\dfrac{-4+12}{2\cdot1}=\frac{8}{2}=4,\)
\(x_2=\dfrac{-4-12}{2\cdot1}=\frac{-16}{2}=-8\)
Ответ: \(x=0;\ 4;\ -8\).
б) \(x^3-10x^2+4x-40=0\)
\(x^2(x-10)+4(x-10)=0\)
\((x-10)(x^2+4)=0\)
или \(x-10=0, \Rightarrow x=10\)
или \(x^2+4=0, \Rightarrow x^2=-4\) - не имеет корней.
Ответ: \(x=10\)
Пояснения:
а) В уравнении можно вынести общий множитель \(x\): получаем произведение \(x(x^2+4x-32)\). Произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому \(x=0\) или квадратный трёхчлен равен нулю.
Квадратное уравнение
\(ax^2 + bx + c = 0\)
решаем через дискриминант
\(D = b^2 - 4ac\).
Если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).
Получаем корни \(4\) и \(-8\).
б) В уравнении удобно сгруппировать слагаемые: \((x^3-10x^2)+(4x-40)\). В каждой группе выносится общий множитель \((x-10)\), получаем
\((x-10)(x^2+4)=0\).
Произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, тогда
\(x-10 = 0\) или \(x^2+4=0\).
Первый множитель даёт корень
\(x=10\). Второй множитель
\(x^2+4=0\) не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.
Вернуться к содержанию учебника