Упражнение 602 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(b_2 = 6,\ b_4 = 24\)

1. \(|b_3|=\sqrt{b_2\cdot b_4}=\sqrt{6\cdot24}=\)

\(=\sqrt{144}=12.\)

\(b_3=12\)   или     \(b_3=-12\)

2. \(q=\frac{b_3}{b_2}\)

Тогда:

\(q=\frac{12}{6}=2\)

или

\(q=\frac{-12}{6}=-2.\)

3. \(b_n=b_1q^{n-1}.\)

\(b_2=b_1q⇒b_1=\frac{b_2}{q}\)

Тогда:

\(b_1=\frac{6}{2}=3\)

или

\(b_1=\frac{6}{-2}=-3.\)

4. \(b_6=b_1q^5\)

При \(b_1=3; \; q=2:\)

\(b_6=3\cdot 2^5=96.\)

При \(b_1=-3; \; q=-2:\)

\(b_6=(-3)\cdot(- 2)^5=96.\)

Ответ: \(b_6=96\)

Пояснения:

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии. Справедливо, что:

\(b_{n+1}=b_{n}q\), откуда, \(q=\frac{b_{n+1}}{b_n}.\)

Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии:

\[ b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}. \]

Свойство геометрической прогрессии:

Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего ее членов.

\(b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1},\) следовательно,  \(|b_n|=\sqrt{b_{n-1}\cdot b_{n+1}}.\)

а) \(125^{-1}\cdot25^2= (5^3)^{-1} \cdot (5^2)^2 =\)

\( = 5^{-3} \cdot 5^4 =5^{-3+4}= 5^1 = 5\).

б) \(0{,}0001\cdot(10^3)^2\cdot(0{,}1)^{-2}=\)

\(=10^{-4}\cdot10^6\cdot(10^{-1})^{-2}=\)

\(=10^{-4}\cdot10^6\cdot10^2=10^{-4+6+2} =\)

\(=10^{4}=10000\).

в) \(\dfrac{16^{-3}\cdot4^5}{8}=\dfrac{(2^4)^{-3}\cdot(2^2)^5}{2^3}=\)

\(=\dfrac{2^{-12}\cdot2^{10}}{2^3}=\dfrac{2^{-2}}{2^3}=\)

\(=2^{-2-3} = 2^{-5}=\dfrac{1}{32}\).

г) \(9^4\cdot\left(\dfrac{1}{27}\right)^{-3}\cdot81^{-4}=\)

\(=(3^2)^4\cdot(3^{-3})^{-3}\cdot(3^4)^{-4}=\)

\(=3^8\cdot3^9\cdot3^{-16}=\)

\(=3^{8+9-16}=3^1=3\).

Пояснения:

В задачах используются свойства степеней:

\(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n},\)

\((a^m)^n=a^{mn},\)

\(a^m\cdot a^n=a^{m+n},\)

\(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}.\)