Упражнение 606 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(b_n=b_1q^{n-1}\)

\(b_1 = 2{,}0\cdot10^4,\ q = 1{,}1\).

\(b_7 = b_1\cdot q^{6}\)

\(b_7 = 2{,}0\cdot10^4\cdot(1{,}1)^6=\)

\(= 2{,}0\cdot10^4\cdot1{,}771561 =\)

\(=35431{,}22 \approx 3{,}54\cdot10^4\ \text{м}^3\).

Пояснения:

Ежегодный прирост древесины на 10% означает, что каждый год её количество увеличивается в одинаковое число раз. Такая зависимость описывается геометрической прогрессией.

Основные правила и формулы:

\[ q = 1 + \frac{10}{100} = 1{,}1, \]

\[ b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}, \]

где \(b_1\) — первоначальное количество древесины, \(q\) — коэффициент роста, \(n\) — номер года.

В данной задаче начальный объём древесины соответствует первому члену прогрессии. Через 6 лет будет седьмой член прогрессии, так как первый год считается исходным моментом.

После подстановки значений выполняется возведение числа \(1{,}1\) в шестую степень и умножение на первоначальный объём. Полученный результат округляется до разумной точности.

Ответ: примерно \(3{,}54\cdot10^4\ \text{м}^3\).

а) \(x_n=4n+2\) - арифметическая прогрессия.

\(S_n=\dfrac{(x_1+x_n)n}{2}\)

\(x_1=4\cdot1+2=6,\)

1) \(x_{50}=4\cdot50+2=202,\)

\(S_{50}=\dfrac{(x_1+x_{50})\cdot\cancel{50}  ^{\color{blue}{25}} }{\cancel2}=\)

\(=(x_1+x_{50})\cdot25 =\)

\(=(6+ 202)\cdot25 =\)

\(=208\cdot25=5200\).

2) \(x_{100}=4\cdot100+2=402\)

\(S_{100}=\dfrac{(x_1+x_{100})\cdot\cancel{100}  ^{\color{blue}{50}} }{\cancel2}=\)

\(=(x_1+x_{100})\cdot50 =\)

\(=(6+ 402)\cdot50 =\)

\(=408\cdot50=20\,400\).

3) \(x_n=4n+2\)

\(S_n=\dfrac{(6+(4n+2))n}{2}=\)

\(=\dfrac{(6+4n+2)n}{2}=\)

\(=\dfrac{(4n+8)n}{2}=\dfrac{\cancel2(2n+4)n}{\cancel2}=\)

\(=(2n+4)n= 2n^2 + 4n\).

Ответ: \(S_{50}=5200\), \(S_{100}=20\,400\),

\(S_n=2n^2 + 4n\).

б) \(x_n=2n+3\) - арифметическая прогрессия.

\(S_n=\dfrac{(x_1+x_n)n}{2}\)

\(x_1=2\cdot1+3=5\)

1) \(x_{50}=2\cdot50+3 = 103\)

\(S_{50}=\dfrac{(x_1+x_{50})\cdot\cancel{50}  ^{\color{blue}{25}} }{\cancel2}=\)

\(=(5 + 103)\cdot25 =\)

\(=108\cdot25=2700\).

2) \(x_{100}=2\cdot100+3 =203\)

\(S_{100}=\dfrac{(x_1+x_{100})\cdot\cancel{100}  ^{\color{blue}{50}} }{\cancel2}=\)

\(=(5 + 203)\cdot50 =\)

\(=208\cdot50 = 10\,400\).

3)  \(x_n=2n+3\)

\(S_n=\dfrac{(5+(2n+3))n}{2}=\)

\(=\dfrac{(5+2n+3)n}{2}=\)

\(=\dfrac{(2n+8)n}{2}=\dfrac{\cancel2(n+4)n}{\cancel2}=\)

\(=n(n+4)=n^2+4n\).

Ответ: \(S_{50}=2700\), \(S_{100}=10\,400\), 

\(S_n=n^2+4n\).

в) \(x_n=n-4\) - арифметическая прогрессия.

\(S_n=\dfrac{(x_1+x_n)n}{2}\)

\(x_1=1-4=-3\)

1) \(x_{50}=50-4=46.\)

\(S_{50}=\dfrac{(x_1+x_{50})\cdot\cancel{50}  ^{\color{blue}{25}} }{\cancel2}=\)

\(=(-3 + 46)\cdot25 =\)

\(=43\cdot25 =1075\).

2) \(x_{100}=100-4=96.\)

\(S_{100}=\dfrac{(x_1+x_{100})\cdot\cancel{100}  ^{\color{blue}{50}} }{\cancel2}=\)

\(=(-3 + 96)\cdot50 =\)

\(=93\cdot50 = 4650\).

3) \(x_n=n-4\)

\(S_n=\dfrac{(-3+(n-4))n}{2}=\)

\(=\dfrac{(-3+n-4)n}{2}=\)

\(=\dfrac{(n-7)n}{2}=\dfrac{n^2-7n}{2}\).

Ответ: \(S_{50}=1075\), \(S_{100}=4650\),

\(S_n=\dfrac{n^2-7n}{2}\).

г) \(x_n=3n-1\) - арифметическая прогрессия.

\(S_n=\dfrac{(x_1+x_n)n}{2}\)

\(x_1=3\cdot1-1=2\).

1) \(x_{50}=3\cdot50-1=149\).

\(S_{50}=\dfrac{(x_1+x_{50})\cdot\cancel{50}  ^{\color{blue}{25}} }{\cancel2}=\)

\(=(2+149)\cdot25 = \)

\(=151\cdot25 =3775\).

2) \(x_{100}=3\cdot100-1=299\).

\(S_{100}=\dfrac{(x_1+x_{100})\cdot\cancel{100}  ^{\color{blue}{50}} }{\cancel2}=\)

\(=(2+299)\cdot50 = \)

\(=301\cdot50 =15050\).

3) \(x_n=3n-1\)

\(S_n=\dfrac{(2+(3n-1))n}{2}=\)

\(=\dfrac{(2+3n-1)n}{2}=\)

\(=\dfrac{(3n+1)n}{2} =\dfrac{3n^2+n}{2} \)

Ответ: \(S_{50}=3775\), \(S_{100}=15050,\) 

\(S_n=\dfrac{3n^2+n}{2}. \)

Пояснения:

Последовательность является арифметической, если её \(n\)-й член задаётся линейной формулой вида \(x_n=an+b\).

Первый член находится подстановкой \(n=1\), а \(n\)-й член берётся из формулы.

Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

\[S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}.\]

Подставляя соответствующие значения, получаем формулы для \(S_{50}\), \(S_{100}\), \(S_n\).