Вернуться к содержанию учебника
В равносторонний треугольник, сторона которого равна 16 см, вписан другой треугольник, вершинами которого являются середины сторон первого. Во второй треугольник таким же способом вписан третий и т. д. Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию. Найдите периметр восьмого треугольника.

Пусть \(A_1B_1=B_1C_1=C_1A_1=a_1=16\) см
\(A_2B_2\), \(B_2С_2\), \(C_2A_2\) - средние линии треугольника, значит:
\(A_2B_2=\frac{1}{2}A_1C_1=\frac12a_1\)
\(B_2C_2=\frac{1}{2}A_1B_1=\frac12a_1\)
\(C_2A_2=\frac{1}{2}B_1C_1=\frac12a_1\)
Итак:
\(A_2B_2 = B_2C_2=C_2A_2=a_2=\frac12a_1\)
Тогда:
\(P_2=3a_2=3\cdot\frac12a_1=\)
\(=3a_1\cdot\frac12=P_1\cdot\frac12\)
\(A_3B_3\), \(B_3С_3\), \(C_3A_3\) - средние линии треугольника, значит:
\(A_3B_3=\frac{1}{2}A_2C_2=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}A_1C_1=\)
\(=\frac{1}{2} \cdot\frac{1}{2} a_1=a_1\cdot\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^2\)
\(B_3C_3=\frac{1}{2}A_2B_2=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}A_1B_1=\)
\(=\frac{1}{2} \cdot\frac{1}{2} a_1=a_1\cdot\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^2\)
\(C_3A_3=\frac{1}{2}B_2C_2=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}B_1C_1=\)
\(=\frac{1}{2} \cdot\frac{1}{2} a_1=a_1\cdot\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^2\)
Итак:
\(A_3B_3=B_3C_3=C_3A_3=\)
\(=a_3=a_1\cdot\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^2\)
Тогда:
\(P_3=3a_3=3a_1\cdot\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^2=\)
\(=P_1\cdot\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^2\)
\(\dots\)
\(P_n=3a_n=3a_1\cdot\left(\dfrac12\right)^{n-1}=\)
\(=P_1\cdot\left(\dfrac12\right)^{n-1}\).
То есть периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию \(P_n=P_1q^{n-1}\), где \(P_1=3a_1=3\cdot16=48\) см, \(q=\dfrac{P_{n+1}}{P_n}=\dfrac12.\)
\(P_8=48\cdot\left(\dfrac12\right)^{8-1}=48\cdot\left(\dfrac12\right)^7=\)
\(=\dfrac{48}{128}=\dfrac{3}{8}\ \text{см}.\)
Ответ: \(P_8=\dfrac{3}{8}\ \text{см}.\)
Пояснения:
Правила и факты, которые используются.
1) В равностороннем треугольнике, если соединить середины его сторон, получится новый (вписанный) равносторонний треугольник.
2) Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна. Поэтому отрезок, соединяющий середины двух сторон, равен половине третьей стороны.
3) Периметр равностороннего треугольника со стороной \(a\):
\[ P=3a. \]
4) Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.
Вернуться к содержанию учебника