Упражнение 609 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть \(A_1B_1=B_1C_1=C_1A_1=a_1=16\) см

\(A_2B_2\), \(B_2С_2\), \(C_2A_2\) - средние линии треугольника, значит:

\(A_2B_2=\frac{1}{2}A_1C_1=\frac12a_1\)

 \(B_2C_2=\frac{1}{2}A_1B_1=\frac12a_1\)

 \(C_2A_2=\frac{1}{2}B_1C_1=\frac12a_1\)

Итак:

\(A_2B_2 = B_2C_2=C_2A_2=a_2=\frac12a_1\)

Тогда:

\(P_2=3a_2=3\cdot\frac12a_1=\)

\(=3a_1\cdot\frac12=P_1\cdot\frac12\)

\(A_3B_3\), \(B_3С_3\), \(C_3A_3\) - средние линии треугольника, значит:

\(A_3B_3=\frac{1}{2}A_2C_2=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}A_1C_1=\)

\(=\frac{1}{2} \cdot\frac{1}{2} a_1=a_1\cdot\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^2\)

 \(B_3C_3=\frac{1}{2}A_2B_2=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}A_1B_1=\)

\(=\frac{1}{2} \cdot\frac{1}{2} a_1=a_1\cdot\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^2\)

 \(C_3A_3=\frac{1}{2}B_2C_2=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}B_1C_1=\)

\(=\frac{1}{2} \cdot\frac{1}{2} a_1=a_1\cdot\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^2\)

Итак:

\(A_3B_3=B_3C_3=C_3A_3=\)

\(=a_3=a_1\cdot\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^2\)

Тогда:

\(P_3=3a_3=3a_1\cdot\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^2=\)

\(=P_1\cdot\biggl(\frac{1}{2}\biggr)^2\)

\(\dots\)

\(P_n=3a_n=3a_1\cdot\left(\dfrac12\right)^{n-1}=\)

\(=P_1\cdot\left(\dfrac12\right)^{n-1}\).

То есть периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию \(P_n=P_1q^{n-1}\), где \(P_1=3a_1=3\cdot16=48\) см, \(q=\dfrac{P_{n+1}}{P_n}=\dfrac12.\) 

\(P_8=48\cdot\left(\dfrac12\right)^{8-1}=48\cdot\left(\dfrac12\right)^7=\)

\(=\dfrac{48}{128}=\dfrac{3}{8}\ \text{см}.\)

Ответ: \(P_8=\dfrac{3}{8}\ \text{см}.\)

Пояснения:

Правила и факты, которые используются.

1) В равностороннем треугольнике, если соединить середины его сторон, получится новый (вписанный) равносторонний треугольник.

2) Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна. Поэтому отрезок, соединяющий середины двух сторон, равен половине третьей стороны.

3) Периметр равностороннего треугольника со стороной \(a\):

\[ P=3a. \]

4) Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.

а) \(1+2+3+\ldots+150\)

\(S_n=\dfrac{(x_1+x_n)n}{2}\)

\(n = 150\),

\(a_1 = 1\),  \(a_{150} = 150\)

\(S_{150}=\dfrac{(1+150)\cdot\cancel{150}  ^{\color{blue}{75}} }{\cancel2}=\)

\(=75\cdot151=11\,325\)

Ответ: \(S_{150}=11\,325\).

б) \(20+21+22+\ldots+120\)

\(S_n=\dfrac{(x_1+x_n)n}{2}\)

\(n=120-20+1=101\),

\(a_1 = 20\),  \(a_{101} = 120\)

\(S_{101}=\dfrac{(20+120)\cdot101}{2}\)

\(=\dfrac{ ^{\color{blue}{70}} \cancel{140}\cdot101}{\cancel2}=70\cdot101=7070\).

Ответ: \(S_{101}=7070\).

в) \(4+8+12+\ldots+300\)

\(S_n=\dfrac{(x_1+x_n)n}{2}\)

\(n=\dfrac{300}{4}=75\),

\(a_1 = 4\),  \(a_{75} = 300\).

\(S_{75}=\dfrac{(4+300)\cdot75}{2}=\)

\(=\dfrac{ ^{\color{blue}{152}} \cancel{304}\cdot75}{\cancel2}=152\cdot75=11\,400\).

Ответ: \(S_{75}=11\,400\).

г) \(7+14+21+\ldots+126\)

\(S_n=\dfrac{(x_1+x_n)n}{2}\)

\(7\cdot18=126 < 130\),

\(7\cdot19=133 > 130\)

\(n=18\),

\(a_1 = 7\),  \(a_{18} = 126\)

\(S_{18}=\dfrac{(7+126)\cdot\cancel{18}  ^{\color{blue}{9}} }{\cancel2}=\)

\(=133\cdot9=1197\)

Ответ: \(S_{18} = 1197\).

Пояснения:

Во всех пунктах суммы являются суммами арифметических прогрессий, поэтому используется формула суммы первых \(n\) членов:

\[S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}.\]

а) Натуральные числа от 1 до 150 образуют прогрессию с \(a_1=1\), \(a_{150}=150\), \(n=150\).

б) Числа от 20 до 120 также образуют арифметическую прогрессию, где \(a_1=20\), \(a_n=120\), число членов находится как разность концов плюс 1.

в) Кратные 4 числа до 300: \(4,8,12,\ldots,300\). Это прогрессия с разностью 4. Количество членов равно \(\frac{300}{4} = 75\), так как 300 — кратно 4.

г) Кратные 7 числа до 130: \(7,14,\ldots\). Последний член — наибольшее кратное 7, не превосходящее 130, это 126. Количество членов равно \(\frac{126}{7}=18\).