Вернуться к содержанию учебника
(Задача-исследование.) Могут ли длины сторон прямоугольного треугольника составлять геометрическую прогрессию?
1) Сделайте чертёж и введите необходимые обозначения.
2) Какую теорему из курса геометрии можно использовать при ответе на вопрос задачи?
3) Составьте уравнение и решите его.
4) Сформулируйте вывод и выполните проверку.
Введите текст
1) Пусть прямоугольный треугольник имеет катеты и гипотенузу, длины которых образуют геометрическую прогрессию.
Обозначим меньший катет: \(a\), больший катет: \(aq\), гипотенузу: \(aq^2\), где \(q>1\).
2) Используем теорему Пифагора:
\((aq^2)^2 = a^2 + (aq)^2\).
3) Составим и решим уравнение.
\(a^2q^4 = a^2 + a^2q^2\).
Разделим обе части на \(a^2\):
\(q^4 = 1 + q^2\).
\(q^4 - q^2 - 1 = 0\).
Обозначим \(q^2 = t\):
\(t^2 - t - 1 = 0\).
\(t = \dfrac{1+\sqrt5}{2}\) или \(t = \dfrac{1-\sqrt5}{2}\).
Так как \(t=q^2>0\), берём:
\(q^2 = \dfrac{1+\sqrt5}{2}\).
4) Следовательно, существует такое значение \(q\), при котором стороны прямоугольного треугольника образуют геометрическую прогрессию.
Пояснения:
Используемые правила и теоремы.
1) Геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число \(q\).
2) Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
\[ c^2 = a^2 + b^2. \]
Ход рассуждений.
Предположим, что длины сторон прямоугольного треугольника образуют геометрическую прогрессию \(a,\ aq,\ aq^2\). Тогда наибольшая сторона \(aq^2\) является гипотенузой.
Подставляя эти выражения в теорему Пифагора, получаем уравнение \(q^4 = 1 + q^2\), которое имеет положительное решение.
Проверка.
Пусть \(a=1\). Тогда стороны равны:
\[ 1,\ q,\ q^2,\quad \text{где } q^2=\frac{1+\sqrt5}{2}. \]
Подставляя в теорему Пифагора, убеждаемся, что равенство выполняется.
Вывод:
Да, длины сторон прямоугольного треугольника могут образовывать геометрическую прогрессию.
Вернуться к содержанию учебника