Упражнение 613 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 174

\(x + y = 5\).

\(y = 5 - x\).

Подставим в уравнение:

\(x^2 - (5 - x)^2 = 30\).

\(x^2 - (25 - 10x + x^2) = 30\).

\(x^2 - 25 + 10x - x^2 = 30\).

\(10x - 25 = 30\).

\(10x = 55\).

\(x = 5{,}5\).

\(y = 5 - 5{,}5 = -0{,}5\).

Пояснения:

Дано уравнение гиперболы:

\[ x^2 - y^2 = 30. \]

Также известно дополнительное условие — сумма координат точки:

\[ x + y = 5. \]

Из второго уравнения выражаем \(y\) через \(x\) и подставляем в первое уравнение. Это стандартный приём решения систем уравнений подстановкой.

После раскрытия скобок и приведения подобных членов получаем линейное уравнение, из которого находится значение \(x\). Затем вычисляется соответствующее значение \(y\).

Проверка:

\[ (5{,}5)^2 - (-0{,}5)^2 = 30{,}25 - 0{,}25 = 30, \]

\[ 5{,}5 + (-0{,}5) = 5. \]

Обе проверки выполняются, значит искомая точка имеет координаты \((5{,}5;\ -0{,}5)\).