Упражнение 613 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( \begin{cases} x^2-y^2=30\\ x + y = 5 \end{cases} \)

\( \begin{cases} (x-y)(x+y)=30\\ x + y = 5 \end{cases} \)

\( \begin{cases} (x-y)\cdot5=30    \color{red}|:5 \\ x + y = 5 \end{cases} \)

\(+ \begin{cases} x-y=6 \\ x + y = 5 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 2x=11  \color{red}|:2  \\ y = 5-x \end{cases} \)

\( \begin{cases} x=5,5  \\ y = 5-5,5 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x=5,5  \\ y = -0,5 \end{cases} \)

Ответ: \((5,5; -0,5)\)

Пояснения:

Дано уравнение, графику которого принадлежит точка:

\( x^2 - y^2 = 30. \)

Также известно, что сумма координат данной точки равна 5, то есть мы можем записать следующее уравнение:

\[ x + y = 5. \]

Из данных уравнений составляем систему:

\( \begin{cases} x^2-y^2=30\\ x + y = 5 \end{cases} \)

Решив которую, получаем,что искомая точка имеет координаты \((5,5; -0,5).\)

Проверка:

\[ (5{,}5)^2 - (-0{,}5)^2 = 30{,}25 - 0{,}25 = 30, \]

\[ 5{,}5 + (-0{,}5) = 5. \]

\((b_n)\) - арифметическая прогрессия.

\(b_1=4{,}2\) и \(b_{10}=15{,}9\).

\(b_n=b_1+(n-1)d\)

\(b_{10}=b_1+9d\)

\(15{,}9=4{,}2+9d\)

\(9d = 15,9 - 4,2\)

\(9d=11{,}7\)

\(d = \frac{11,7}{9}\)

\(d=1{,}3\)

\(S_n=\dfrac{2b_1+d(n-1)}{2}\,n\)

\(S_{15}=\dfrac{2\cdot4,2+1,3\cdot(15-1)}{2}\cdot15=\)

\(=\dfrac{8,4+1,3\cdot14}{2}\cdot15=\)

\(=\dfrac{8,4+18,2}{2}\cdot15=\dfrac{26,6}{2}\cdot15=\)

\(=13,3\cdot15 = 199,5\).

Пояснения:

Так как известны первый и десятый члены арифметической прогрессии, сначала находится разность \(d\) по формуле \(b_{10}=b_1+9d\).

После сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии может быть найдена по формуле:

\(S_n=\dfrac{2b_1+d(n-1)}{2}\,n\).

Подстановка в эту формулу значений \(n = 15\), \(b_1=4{,}2\), \(d = 1,3\), даёт искомую сумму: \(S_{15}=199{,}5\).