Упражнение 610 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 173

Пусть числа арифметической прогрессии: \(7-d;\ 7;\ 7+d\).

\((7-d)+7+(7+d)=21\).

\(21=21\).

После изменения получаем: \(7-d;\ 7-1;\ 7+d+1\).

\(7-d;\ 6;\ 8+d\).

Условие геометрической прогрессии: \(6^2=(7-d)(8+d)\).

\(36=(7-d)(8+d)\).

\(36=56+7d-8d-d^2\).

\(36=56-d-d^2\).

\(d^2+d-20=0\).

\((d+5)(d-4)=0\).

\(d=4\) или \(d=-5\).

При \(d=4\): \(7-4=3,\ 7,\ 7+4=11\).

При \(d=-5\): \(7-(-5)=12,\ 7,\ 7+(-5)=2\).

Пояснения:

Правила и формулы, которые используются.

1) Три последовательных члена арифметической прогрессии можно записать как \(a-d,\ a,\ a+d\).

2) Сумма трёх таких чисел равна \( (a-d)+a+(a+d)=3a\).

3) Для трёх последовательных членов геометрической прогрессии \(u,\ v,\ w\) выполняется условие:

\[ v^2=uw. \]

Применение к задаче.

Так как сумма трёх чисел АП равна 21, то средний член \(a\) находится из равенства \(3a=21\), откуда \(a=7\). Значит, исходные числа можно представить как \(7-d,\ 7,\ 7+d\).

По условию второе число уменьшают на 1, а третье увеличивают на 1, поэтому новая тройка имеет вид \(7-d,\ 6,\ 8+d\).

Чтобы эти три числа образовали геометрическую прогрессию, квадрат среднего должен равняться произведению крайних:

\[ 6^2=(7-d)(8+d). \]

После раскрытия скобок и приведения подобных получаем квадратное уравнение \(d^2+d-20=0\), которое раскладывается на множители \((d+5)(d-4)=0\). Отсюда два значения \(d\), а значит, два возможных набора исходных чисел: \(3,\ 7,\ 11\) или \(12,\ 7,\ 2\) (это та же арифметическая прогрессия, записанная в обратном порядке).