Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№610 учебника 2023-2026 (стр. 173):
Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 21. Найдите эти числа, если известно, что, уменьшив второе из них на 1 и увеличив третье на 1, мы получим геометрическую прогрессию.
№610 учебника 2014-2022 (стр. 159):
Найдите сумму членов арифметической прогрессии с пятнадцатого по тридцатый включительно, если первый член равен \(10\) и разность равна \(3\).
№610 учебника 2023-2026 (стр. 173):
Вспомните:
№610 учебника 2014-2022 (стр. 159):
Вспомните:
№610 учебника 2023-2026 (стр. 173):
Пусть \(a_1, a_2, a_3\) - арифметическая прогрессия.
\(a_2=a_1+d; a_3=a_1+2d.\)
Тогда \(a_1, a_2-1, a_3+1\) - геометрическая прогрессия.
По условию:
\(a_1+ a_2+ a_3=21\)
Т.к. \(b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}\)
Запишем систему:
\( \begin{cases} a_1+a_1+d+a_1+2d=21 \\ (a_2-1)^2=a_1 \cdot(a_3+1) \end{cases} \)
\( \begin{cases} 3a_1+3d=21 \color{red}| :3 \\ (a_1+d-1)^2=a_1 \cdot(a_1+2d+1) \end{cases} \)
\( \begin{cases} a_1+d=7 \\ (a_1+d-1)^2=a_1 \cdot(a_1+2d+1) \end{cases} \)
\(\small \begin{cases} a_1=7-d \\ (7-d+d-1)^2=(7-d) \cdot(7-d+2d+1) \end{cases} \)
\( \begin{cases} a_1=7-d \\ 6^2=(7-d) \cdot(8+d) \end{cases} \)
\(36=56-8d+7d-d^2\)
\(36=56-d-d^2\)
\(d^2+d-20=0\)
\(D=b^2-4ac=1^2-4\cdot1\cdot(-20) = 81>0\) - уравнение имеет два корня.
\(d_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}, \sqrt D=9\)
\(d_{1}=\frac{-1+9}{2}=4\)
\(d_{2}=\frac{-1-9}{2}=-5\)
При \(d=4:\)
\(a_1=7-4=3\)
\(a_2=3+4=7\)
\(a_3=3+2\cdot4=11\)
При \(d=-5:\)
\(a_1=7-(-5)=12\)
\(a_2=12+(-5)=7\)
\(a_3=12+2\cdot(-5)=2\)
Ответ: \(3; 7; 11\) или \(12; 7; 2.\)
Пояснения:
1. Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получается прибавлением одного и того же числа \(d\), называемого разностью прогрессии.
Общий вид \(n\)-го члена арифметической прогрессии задаётся формулой:
\(c_n=c_1+(n-1)d.\)
2. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.
3. Свойство геометрической прогрессии:
Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего ее членов.
\(b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}.\)
4. Формула корней квадратного уравнения.
\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a},\) где \(D=b^2-4ac\)
№610 учебника 2014-2022 (стр. 159):
\((a_n)\) - арифметическая прогрессия.
\(a_1 = 10\), \(d = 3\).
\(a_n=a_1 +d(n-1)\)
\(a_{14}=10+3\cdot(14-1)=\)
\(=10+3\cdot13=\)
\(=10+39=49\).
\(a_{30}=10+3\cdot(30-1)=\)
\(=10+3\cdot29=\)
\(=10+87=97\).
\(S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}\)
\(S_{14}=\dfrac{(a_1+a_{14})\cdot\cancel{14} ^{\color{blue}{7}} }{\cancel2}=\)
\(=(10+49)\cdot7=59\cdot7 =413 \).
\(S_{30}=\dfrac{(a_1+a_{30})\cdot\cancel{30} ^{\color{blue}{15}} }{\cancel2}=\)
\(=(10+97)\cdot15=107\cdot15 =1605\).
\(S_{15-30} = S_{30} - S_{15} =\)
\(=1605 - 413 = 1192\).
Ответ: \(S_{15-30} = 1192\).
Пояснения:
Арифметическая прогрессия задаётся формулой
\(a_n=a_1+(n-1)d\).
По ней находятся значения нужных членов прогрессии.
Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
\[S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}.\]
Подставляя значения \(n=14\) и \(n = 30\), получаем суммы \(S_{14}\) и \(S_{30}\). Затем, вычитая из суммы тридцати первых членов \(S_{30}\) сумму четырнадцати первых членов \(S_{14}\), находим сумму членов арифметической прогрессии с пятнадцатого по тридцатый включительно, то есть
\(S_{15-30} = S_{30} - S_{15}\).
Вернуться к содержанию учебника