Упражнение 610 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 173

Пусть \(a_1, a_2, a_3\) - арифметическая прогрессия.

\(a_2=a_1+d; a_3=a_1+2d.\)

Тогда  \(a_1, a_2-1, a_3+1\) - геометрическая прогрессия.

По условию: 

\(a_1+ a_2+ a_3=21\) 

Т.к. \(b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}\)

Запишем систему:

\( \begin{cases} a_1+a_1+d+a_1+2d=21 \\ (a_2-1)^2=a_1 \cdot(a_3+1)  \end{cases} \)

\( \begin{cases} 3a_1+3d=21       \color{red}| :3 \\ (a_1+d-1)^2=a_1 \cdot(a_1+2d+1)  \end{cases} \)

\( \begin{cases} a_1+d=7 \\ (a_1+d-1)^2=a_1 \cdot(a_1+2d+1)  \end{cases} \)

\( \begin{cases} a_1=7-d \\ (7-d+d-1)^2=(7-d) \cdot(7-d+2d+1)  \end{cases} \)

\( \begin{cases} a_1=7-d \\ 6^2=(7-d) \cdot(8+d)  \end{cases} \)

\(36=56-8d+7d-d^2\)

\(36=56-d-d^2\)

\(d^2+d-20=0\)

\(D=b^2-4ac=1^2-4\cdot1\cdot(-20) = 81>0\) - уравнение имеет два корня.

\(d_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}, \sqrt D=9\)

\(d_{1}=\frac{-1+9}{2}=4\)

\(d_{2}=\frac{-1-9}{2}=-5\)

При \(d=4:\)

\(a_1=7-4=3\) 

\(a_2=3+4=7\) 

\(a_3=3+2\cdot4=11\) 

При \(d=-5:\)

\(a_1=7-(-5)=12\)

\(a_2=12+(-5)=7\)

\(a_3=12+2\cdot(-5)=2\)

Ответ: \(3; 7; 11\) или \(12; 7; 2.\)

Пояснения:

1. Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получается прибавлением одного и того же числа \(d\), называемого разностью прогрессии.

Общий вид \(n\)-го члена арифметической прогрессии задаётся формулой:

\(c_n=c_1+(n-1)d.\)

2.  Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.

3. Свойство геометрической прогрессии:

Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего ее членов.

\(b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}.\)

4. Формула корней квадратного уравнения.

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a},\) где \(D=b^2-4ac\)