Упражнение 608 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(AB=BC=CA=a\), \(BH=h\)

\(P=3a\)

\(AH=HC=\frac12a\) (т.к. в равностороннем треугольнике высота является медианой.)

По теореме Пифагора:

\(AB^2=AH^2+BH^2⇒\)

\(AH^2=AB^2-AH^2\)

\(AH=\sqrt{AB^2-AH^2}\)

Тогда:

\(h=\sqrt{a^2-\frac{1}{4}a^2}=a\sqrt{\frac44-\frac{1}{4}}=\dfrac{\sqrt3}{2}\,a\)

Так как высоты равностороннего треугольника равны, то каждая высота равностороннего треугольника со стороной \(a\) будет равна:

\(h=\dfrac{\sqrt3}{2}\,a\)

Пусть \(a_1=8\) см.

\(P_1=3a_1\).

\(P_2=3a_2=3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\,a_1=\)

\(=3a_1\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=P_1\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\)

\(P_3=3a_3=3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\,a_2=\)

\(=3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\,a_1=\)

\(=3a_1\cdot\biggl(\dfrac{\sqrt3}{2}\biggr)^2=P_1\cdot\biggl(\dfrac{\sqrt3}{2}\biggr)^2\)

\(P_4=3a_4=3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\,a_3=\)

\(=3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\,a_2=\)

\(=3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\,a_1=\)

\(=3a_1\cdot\biggl(\dfrac{\sqrt3}{2}\biggr)^3=P_1\cdot\biggl(\dfrac{\sqrt3}{2}\biggr)^3\)

\(\ldots\)

\(P_n=3a_n=P_1\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^{n-1}\).

То есть периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию, \(P_n=P_1q^{n-1}\), где \(P_1=3\cdot8=24\), \(q=\dfrac{P_{n+1}}{P_n}=\dfrac{\sqrt3}{2}\). 

\(P_6=24\cdot\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^{6-1}=\)

\(=24\cdot\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^5=24\cdot\dfrac{(\sqrt3)^5}{2^5}=\)

\(=24\cdot\dfrac{9\sqrt3}{32}=\dfrac{216\sqrt3}{32}=\dfrac{27\sqrt3}{4}\ \text{см}.\)

Ответ:  \(P_6=\dfrac{27\sqrt3}{4}\ \text{см}.\)

Пояснения:

Правила и формулы, которые используются.

1) В равностороннем треугольнике высота выражается через сторону \(a\) так:

\[ h=\frac{\sqrt3}{2}\,a. \]

2) Периметр равностороннего треугольника:

\[ P=3a. \]

3) Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.

Почему периметры образуют геометрическую прогрессию.

Пусть сторона первого равностороннего треугольника равна \(a_1=8\). По условию следующий треугольник строят «из высот» предыдущего, то есть его стороны равны высотам предыдущего треугольника.

Высота равностороннего треугольника со стороной \(a\) равна \(h=\dfrac{\sqrt3}{2}a\), значит:

\[ a_2=h_1=\frac{\sqrt3}{2}\,a_1,\quad a_3=h_2=\frac{\sqrt3}{2}\,a_2,\ \ldots,\ a_{n+1}=\frac{\sqrt3}{2}\,a_n. \]

То есть стороны образуют геометрическую прогрессию с знаменателем \(\dfrac{\sqrt3}{2}\).

Так как \(P_n=3a_n\), то

\[ P_{n+1}=3a_{n+1}=3\cdot\frac{\sqrt3}{2}a_n=\frac{\sqrt3}{2}\cdot 3a_n=\frac{\sqrt3}{2}\,P_n, \]

значит периметры тоже образуют геометрическую прогрессию с тем же знаменателем

\[ q=\frac{\sqrt3}{2}. \]

Нахождение периметра шестого треугольника.

Первый периметр \(P_1=3\cdot8=24\). Тогда

\[ P_6=P_1\cdot q^{5}=24\cdot\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^5=\frac{27\sqrt3}{4}\ \text{см}. \]

а) \(2,4,6,\ldots,2n\) - арифметическая прогрессия, \(d = 2\).

\(a_1=2,\ a_n=2n,\)

\(n\) — число членов.

\(S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}=\)

\(=\dfrac{(2+2n)n}{2}=\dfrac{\cancel2(1+n)n}{\cancel2}\)

\(=(1+n)n = n + n^2\).

Ответ: \(S_n= n + n^2\).

б) \(1,3,5,\ldots,(2n-1)\) - арифметическая прогрессия, \(d = 2\).

\(a_1=1,\ a_n=2n-1,\)

\(n\) — число членов.

\(S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}=\)

\(=\dfrac{(1+2n-1)n}{2}=\)

\(=\dfrac{\cancel2n\cdot n}{\cancel2}=n^2\).

Ответ: \(S_n=n^2\).

Пояснения:

В пункте а) рассматривается арифметическая прогрессия чётных чисел. Каждый следующий член увеличивается на \(2\), поэтому всего таких чисел от \(2\) до \(2n\) ровно \(n\).

Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

\[S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}.\]

Подставляя \(a_1=2\) и \(a_n=2n\), получаем сумму \(S_n= n + n^2\).

В пункте б) рассматривается арифметическая прогрессия нечётных чисел. Первый член равен \(1\), последний равен \(2n-1\), и также всего \(n\) членов.

Подстановка в формулу суммы приводит к результату \(n^2\), что означает: сумма первых \(n\) нечётных натуральных чисел равна квадрату числа \(n\).