Упражнение 603 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(b_n=b_1q^{n-1}\)

\(b_1 = 60000,\ q = 1{,}02\).

\(b_6 = b_1\cdot q^{6-1}\).

\(b_6 = 60000\cdot(1{,}02)^5=\)

\(=60000\cdot1{,}1040808 =\)

\(=66244{,}848 \approx 66245\) (чел.)

Ответ: население города через 5 лет будет 66 245 человек. 

Пояснения:

Ежегодный прирост населения на 2% означает, что каждый год численность населения увеличивается в \(1{,}02\) раза. Такая зависимость описывается геометрической прогрессией (последовательностью, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии ).

Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии:

\[ b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}, \]

где \(b_1\) — начальное население, \(q\) — коэффициент роста, \(n\) — номер года.

В данной задаче население в настоящий момент соответствует первому члену прогрессии. Через 5 лет будет шестой член прогрессии, так как первый год считается исходным моментом.

После подстановки значений выполняется возведение числа \(1{,}02\) в пятую степень и умножение на 60000. Полученное число округляется до целого, так как количество людей выражается целыми единицами.

а) \((a_n)\) - арифметическая прогрессия.

\(a_1=3,\ a_{60}=57\)

\(S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}\)

\(S_{60}=\dfrac{(3+57)\cdot60}{2}=\dfrac{60\cdot\cancel{60}^{30}}{\cancel2}=\)

\(=60\cdot30=1800\).

Ответ: \(S_{60}=1800\).

б) \((a_n)\) - арифметическая прогрессия.

\(a_1=-10{,}5,\ a_{60}=51{,}5\).

\(S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}\)

\(S_{60}=\dfrac{(-10{,}5+51{,}5)\cdot60}{2}=\)

\(=\dfrac{^{30}\cancel{60}\cdot41}{\cancel2}=30\cdot41=1230\)

Ответ: \(S_{60}=1230\).

Пояснения:

Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

\[S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}.\]

Эта формула применяется, когда известны первый и \(n\)-й члены прогрессии.