Упражнение 601 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(2,\ a,\ b,\ \dfrac14\) - геометрическая прогрессия.

\(x_1 = 2,\ x_4 = \dfrac14\)

\(x_n=x_1q^{n-1}\)

\(x_4 = x_1\cdot q^{3}\)

\(q^3=\frac{x_4}{x_1}=\frac14:2=\frac18\)

\(q = \dfrac12\).

\(a = x_2 =x_1q= 2\cdot\dfrac12 = 1\).

\(b = x_3 =x_1q^2= 2\cdot\dfrac14 = \dfrac12\).

Ответ: \(a = 1;\) \(b =\dfrac12\).

Пояснения:

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.

Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии:

\[ x_n = x_1 \cdot q^{\,n-1}. \]

В задаче известно, что прогрессия состоит из четырёх членов, поэтому последний член выражается формулой:

\[ x_4 = x_1 \cdot q^3. \]

Подставляя известные значения \(x_1 = 2\) и \(x_4 = \dfrac14\), получаем уравнение для нахождения знаменателя прогрессии. После нахождения \(q\) последовательно вычисляются второй и третий члены прогрессии:

\[ a = x_2 = x_1\cdot q,\quad b = x_3 = x_2\cdot q. \]

Таким образом, значения неизвестных членов равны \(a = 1\) и \(b = \dfrac12\).

а) \((2x-1)(x+8)>0\)

\((2x-1)(x+8)=0\)

\(2x-1 =0\)  или  \(x + 8 = 0\)

\(2x = 1\)                 \(x = -8\)

\(x = \frac12\)

\(x =0,5\)

Ответ: \(x\in(-\infty;-8)\cup(0,5;+\infty)\).

б) \((33-x)(16+2x)\le 0\)

\((33-x)(16+2x)= 0\)

\(33-x=0 \)  или  \(16+2x=0\)

\(x=33\)                  \(2x = 16\)

                               \(x = \frac{16}{2}\)

                               \( x=-8\)

Ответ: \(x\in(-\infty; -8] \cup [33; +-\infty)\).

Пояснения:

При решении неравенств используем метод интервалов.

Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней; если «≥0» — интервалы со знаком "+" и включаем корни; если «≤0» — интервалы со знаком "–" и включаем корни.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(+\infty\) и \(-\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.