Упражнение 616 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(b_1=3,\ b_2=-6\)

\(q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{-6}{3}=-2\).

\(S_6=\frac{b_1(q^6-1)}{q-1}=\dfrac{3\cdot((-2)^6-1)}{(-2)-1}=\)

\(=\dfrac{3\cdot(64-1)}{-3}=-63.\)

б) \(b_1=54,\ b_2=36\)

\( q=\frac{b_2}{b_1}=\dfrac{36}{54}=\dfrac23\).

\(\small S_6=\frac{b_1(q^6-1)}{q-1}=\dfrac{54\cdot\Biggl(\left(\dfrac23\right)^6-1\Biggr)}{\dfrac23-1} =\)

\(\small =\dfrac{54\cdot\Biggl(\dfrac{64}{729}-1\Biggr)}{-\dfrac13} =\dfrac{54\cdot\Biggl(-\dfrac{665}{729}\Biggr)}{-\dfrac13}=\)

\(={2\cdot\dfrac{665}{27}}:{\dfrac13}={\dfrac{2\cdot665}{27}}\cdot3=\)

\(=\frac{1330}{9}=147\frac{7}{9}.\)

в) \(b_1=-32,\ b_2=-16\)

\( q=\frac{b_2}{b_1}=\dfrac{-16}{-32}=\dfrac12\).

\(\small S_6=\frac{b_1(q^6-1)}{q-1}=\dfrac{-32\cdot\Biggl(\left(\dfrac12\right)^6-1\Biggr)}{\dfrac12-1} =\)

\(\small =\dfrac{-32\cdot\Biggl(\dfrac{1}{64}-1\Biggr)}{-\dfrac12} =\dfrac{32\cdot\Biggl(-\dfrac{63}{64}\Biggr)}{\dfrac12} =\)

\(=-{32\cdot\dfrac{63}{64}}:{\dfrac12} =-{\dfrac{63}{2}}\cdot2=-63.\)

г) \(b_1=1,\ b_2=-\dfrac12\)

\(q=\frac{b_2}{b_1}=-\dfrac12\).

\(\small S_6=\frac{b_1(q^6-1)}{q-1}=\dfrac{1\cdot\Biggl(\left(-\dfrac12\right)^6-1\Biggr)}{-\dfrac12-1} =\)

\(=\dfrac{\dfrac{1}{64}-1}{-1\dfrac12} =\dfrac{-\dfrac{63}{64}}{-\dfrac32} =\dfrac{63}{64}\cdot\dfrac23 =\dfrac{21}{32}.\)

Пояснения:

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.

Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии при \(q \ne 1\) вычисляется по формуле:

\(S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}\)

Для каждого пункта сначала находится знаменатель прогрессии \(q\) как отношение второго члена к первому. Затем в формулу суммы подставляются значения \(b_1\), \(q\) и \(n=6\).

При отрицательном знаменателе прогрессии (пункты а и г) члены чередуются по знаку, что учитывается при возведении \(q\) в степень.

В каждом пункте все вычисления выполняются строго по формуле, после чего результат упрощается.

\(a_1 = 1\), \(a_2 = 2\), \(a_3 = 3\), ... - арифметическая прогрессия.

\(d = 1\)

\(S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\,n\)

1) \(S_n=120\)

\(\dfrac{2\cdot1+1\cdot(n-1)}{2}\,n = 120\)

\(\dfrac{2+n-1}{2}\,n = 120\)

\(\dfrac{n+1}{2}\,n = 120\)  \(/\times2\)

\((n+1)n=240\)

\(n^2+n-240=0\)

\(D=1^2-4\cdot1\cdot(-240)=\)

\(=1+960=961 > 0\) - два корня.

\(\sqrt{961}=31\)

\(n_1=\dfrac{-1+31}{2\cdot1}=\dfrac{30}{2}=15 \in N\)

\(n_2=\dfrac{-1-31}{2\cdot1}=\dfrac{-32}{2}=-16 \notin N\)

2) \(n = 30\)

\(S_{30}=\dfrac{2\cdot1+1\cdot(30-1)}{\cancel2}\cdot\cancel{30}  ^{\color{blue}{15}} =\)

\(=(2+29)\cdot15=31\cdot15 = 465. \)

Ответ: шары размещены в 15 рядов; для треугольника из 30 рядов нужно 465 шаров.

Пояснения:

В каждом следующем ряду на 1 шар больше, чем в предыдущем, поэтому количество шаров по рядам образует последовательность \(1,2,3,\ldots\), которая является арифметической прогрессией. Общее число шаров равно сумме первых \(n\) натуральных чисел.

Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии может быть найдена по формуле:

\(S_n=\dfrac{2b_1+d(n-1)}{2}\,n\).

Чтобы узнать, сколько рядов при 120 шарах, приравниваем эту сумму к 120 и решаем квадратное уравнение.

Квадратное уравнение

\(a^2 + bx + c = 0\)

решаем через дискриминант

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Подходит только корень \(n=15\), так как количество рядов может быть только натуральным числом.

Чтобы найти число шаров для треугольника из 30 рядов, подставляем \(n=30\) в формулу суммы и получаем \(465\).