Упражнение 616 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 177

а) \(b_1=3,\ b_2=-6,\ q=\dfrac{-6}{3}=-2\).

\(S_6=b_1\cdot\dfrac{1-q^6}{1-q}=3\cdot\dfrac{1-(-2)^6}{1-(-2)}=3\cdot\dfrac{1-64}{3}=3\cdot\dfrac{-63}{3}=-63.\)

б) \(b_1=54,\ b_2=36,\ q=\dfrac{36}{54}=\dfrac23\).

\(S_6=54\cdot\dfrac{1-\left(\dfrac23\right)^6}{1-\dfrac23} =54\cdot\dfrac{1-\dfrac{64}{729}}{\dfrac13} =54\cdot\dfrac{\dfrac{665}{729}}{\dfrac13} =162\cdot\dfrac{665}{729} =\dfrac{11970}{81} =\dfrac{3990}{27}.\)

в) \(b_1=-32,\ b_2=-16,\ q=\dfrac{-16}{-32}=\dfrac12\).

\(S_6=-32\cdot\dfrac{1-\left(\dfrac12\right)^6}{1-\dfrac12} =-32\cdot\dfrac{1-\dfrac{1}{64}}{\dfrac12} =-32\cdot\dfrac{\dfrac{63}{64}}{\dfrac12} =-32\cdot\dfrac{63}{32} =-63.\)

г) \(b_1=1,\ b_2=-\dfrac12,\ q=-\dfrac12\).

\(S_6=1\cdot\dfrac{1-\left(-\dfrac12\right)^6}{1-(-\dfrac12)} =\dfrac{1-\dfrac{1}{64}}{\dfrac32} =\dfrac{\dfrac{63}{64}}{\dfrac32} =\dfrac{63}{64}\cdot\dfrac23 =\dfrac{21}{32}.\)

Пояснения:

Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии при \(q\neq1\) вычисляется по формуле:

\[ S_n=b_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}. \]

Для каждого пункта сначала находится знаменатель прогрессии \(q\) как отношение второго члена к первому. Затем в формулу суммы подставляются значения \(b_1\), \(q\) и \(n=6\).

При отрицательном знаменателе прогрессии (пункты а и г) члены чередуются по знаку, что учитывается при возведении \(q\) в степень.

В каждом пункте все вычисления выполняются строго по формуле, после чего результат упрощается.