Вернуться к содержанию учебника
Найдите сумму первых \(n\) членов геометрической прогрессии:
а) \(1;\ 3;\ 3^2;\ldots\);
б) \(2;\ 2^2;\ 2^3;\ldots\);
в) \(\dfrac12;\ -\dfrac14;\ \dfrac18;\ldots\);
г) \(1;\ -x;\ x^2;\ldots\), где \(x\ne -1\);
д) \(1;\ x^2;\ x^4;\ldots\), где \(x\ne \pm1\);
е) \(1;\ -x^3;\ x^6;\ldots\), где \(x\ne -1\).
Вспомните:
а) \(1;\ 3;\ 3^2;\ldots\);
\(b_1=1\)
\(q=\frac{b_2}{b_1}=\dfrac{3}{1}=3\)
\(S_n=\dfrac{b_1\cdot(q^n-1)}{q-1}=\)
\(=\dfrac{1\cdot(3^n-1)}{3-1}=\dfrac{3^n-1}{2}.\)
Ответ: \(S_n=\dfrac{3^n-1}{2}.\)
б) \(2;\ 2^2;\ 2^3;\ldots\);
\(b_1=2\)
\( q=\frac{b_2}{b_1}=\dfrac{2^2}{2}=2\)
\( S_n=\dfrac{b_1\cdot(q^n-1)}{q-1}=\)
\(=\dfrac{2\cdot(2^n-1)}{2-1}=2(2^n-1).\)
Ответ: \( S_n=2(2^n-1).\)
в) \(\dfrac12;\ -\dfrac14;\ \dfrac18;\ldots\);
\(b_1=\dfrac12\)
\(\small q=\frac{b_2}{b_1}=-\frac14:\frac12=-\frac14\cdot2=-\dfrac12\)
\(S_n=\dfrac{b_1\cdot(q^n-1)}{q-1}=\)
\(=\dfrac{\dfrac12\cdot\Biggl(\left(-\dfrac12\right)^n-1\Biggr)}{-\dfrac12-1} =\)
\(=\dfrac{\dfrac12\cdot\Biggl(\left(-\dfrac12\right)^n-1\Biggr)}{-1\dfrac12} =\)
\(={\dfrac12\cdot\Biggl(\left(-\dfrac12\right)^n-1\Biggr)}:{\left(-\dfrac32\right)} =\)
\(=-{\dfrac12\cdot\Biggl(\left(-\dfrac12\right)^n-1\Biggr)}\cdot\dfrac23 =\)
\(=-\dfrac{1}{3}\cdot\Biggl(\left(-\dfrac12\right)^n-1\Biggr).\)
Ответ: \(S_n=-\dfrac{1}{3}\cdot\Biggl(\left(-\dfrac12\right)^n-1\Biggr).\)
г) \(1;\ -x;\ x^2;\ldots\), где \(x\ne -1\);
\(b_1=1\)
\(q=\frac{b_2}{b_1}=\dfrac{-x}{1}=-x\)
\(\small S_n=\dfrac{b_1\cdot(q^n-1)}{q-1}=\dfrac{1\cdot((-x)^n-1)}{-x-1}=\)
\(=-\dfrac{((-x)^n-1)}{x+1}=\)
\(=\dfrac{1-(-x)^n}{1+x}.\)
Ответ: \(S_n=\dfrac{1-(-x)^n}{1+x}.\)
д) \(1;\ x^2;\ x^4;\ldots\), где \(x\ne \pm1\);
\(b_1=1\)
\(q=\frac{b_2}{b_1}=\dfrac{x^2}{1}=x^2\)
\(S_n=\dfrac{b_1\cdot(q^n-1)}{q-1}=\)
\(=\dfrac{1\cdot((x^2)^n-1)}{x^2-1}=\dfrac{x^{2n}-1}{x^2-1}.\)
Ответ: \(S_n=\dfrac{x^{2n}-1}{x^2-1}.\)
е) \(1;\ -x^3;\ x^6;\ldots\), где \(x\ne -1\).
\(b_1=1\)
\( q=\frac{b_2}{b_1}=\dfrac{-x^3}{1}=-x^3\)
\( S_n=\dfrac{1\cdot((-x^3)^n-1)}{-x^3-1}=\)
\(=\dfrac{1-(-x^3)^n}{1+x^3}.\)
Ответ: \( S_n=\dfrac{1-(-x^3)^n}{1+x^3}.\)
Пояснения:
1. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.
2. Знаменатель прогрессии ищем по формуле:
\(q=\frac{b_{n+1}}{b_n}\)
3. Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии при \(q \ne 1\) вычисляется по формуле:
\(S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}\)
Как получены ответы.
В пунктах а), б), в) сначала найден знаменатель \(q\) как отношение второго члена к первому. Затем подставлены \(b_1\), \(q\) и \(n\) в формулу суммы.
В пунктах г), д), е) члены прогрессии заданы через переменную \(x\). Знаменатель \(q\) находится как отношение второго члена к первому: для г) \(q=-x\), для д) \(q=x^2\), для е) \(q=-x^3\). После этого применяется та же формула суммы.
Ограничения \(x\ne -1\) и \(x\ne \pm1\) нужны, чтобы знаменатель в формуле суммы не обращался в нуль: в г) \(1+x\ne0\), в д) \(1-x^2\ne0\), в е) \(1+x^3\ne0\).
Вернуться к содержанию учебника