Вернуться к содержанию учебника
Найдите сумму первых \(n\) членов геометрической прогрессии:
а) \(1;\ 3;\ 3^2;\ldots\);
б) \(2;\ 2^2;\ 2^3;\ldots\);
в) \(\dfrac12;\ -\dfrac14;\ \dfrac18;\ldots\);
г) \(1;\ -x;\ x^2;\ldots\), где \(x\ne -1\);
д) \(1;\ x^2;\ x^4;\ldots\), где \(x\ne \pm1\);
е) \(1;\ -x^3;\ x^6;\ldots\), где \(x\ne -1\).
Введите текст
а) \(b_1=1,\ q=\dfrac{3}{1}=3,\ S_n=b_1\cdot\dfrac{q^n-1}{q-1}=1\cdot\dfrac{3^n-1}{3-1}=\dfrac{3^n-1}{2}.\)
б) \(b_1=2,\ q=\dfrac{2^2}{2}=2,\ S_n=2\cdot\dfrac{2^n-1}{2-1}=2(2^n-1).\)
в) \(b_1=\dfrac12,\ q=\dfrac{-1/4}{1/2}=-\dfrac12,\ S_n=\dfrac12\cdot\dfrac{1-\left(-\dfrac12\right)^n}{1-(-\dfrac12)} =\dfrac12\cdot\dfrac{1-\left(-\dfrac12\right)^n}{\dfrac32} =\dfrac{1-\left(-\dfrac12\right)^n}{3}.\)
г) \(b_1=1,\ q=\dfrac{-x}{1}=-x,\ S_n=1\cdot\dfrac{1-(-x)^n}{1-(-x)}=\dfrac{1-(-x)^n}{1+x}.\)
д) \(b_1=1,\ q=\dfrac{x^2}{1}=x^2,\ S_n=1\cdot\dfrac{1-(x^2)^n}{1-x^2}=\dfrac{1-x^{2n}}{1-x^2}.\)
е) \(b_1=1,\ q=\dfrac{-x^3}{1}=-x^3,\ S_n=1\cdot\dfrac{1-(-x^3)^n}{1-(-x^3)}=\dfrac{1-(-x^3)^n}{1+x^3}.\)
Пояснения:
Используемые формулы.
1) Геометрическая прогрессия — последовательность, в которой отношение соседних членов постоянно:
\[ q=\frac{b_{n+1}}{b_n}. \]
2) Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии при \(q\ne1\):
\[ S_n=b_1+b_2+\cdots+b_n=b_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q} =b_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1}. \]
Как получены ответы.
В пунктах а), б), в) сначала найден знаменатель \(q\) как отношение второго члена к первому. Затем подставлены \(b_1\), \(q\) и \(n\) в формулу суммы.
В пунктах г), д), е) члены прогрессии заданы через переменную \(x\). Знаменатель \(q\) находится как отношение второго члена к первому: для г) \(q=-x\), для д) \(q=x^2\), для е) \(q=-x^3\). После этого применяется та же формула суммы.
Ограничения \(x\ne -1\) и \(x\ne \pm1\) нужны, чтобы знаменатель в формуле суммы не обращался в нуль: в г) \(1+x\ne0\), в д) \(1-x^2\ne0\), в е) \(1+x^3\ne0\).
Вернуться к содержанию учебника