Вернуться к содержанию учебника
Найдите сумму первых семи членов геометрической прогрессии \((b_n)\), в которой \(b_2 = 6\) и \(b_4 = 54\), если известно, что все её члены положительны.
Введите текст
\(b_4 = b_2\cdot q^{4-2}\).
\(54 = 6\cdot q^2\).
\(q^2 = 9\).
\(q = 3\) (так как все члены положительны).
\(b_1 = \dfrac{b_2}{q} = \dfrac{6}{3} = 2\).
\(S_7 = b_1\cdot\dfrac{q^7-1}{q-1}\).
\(S_7 = 2\cdot\dfrac{3^7-1}{3-1}\).
\(3^7 = 2187\).
\(S_7 = 2\cdot\dfrac{2187-1}{2} = 2186.\)
Пояснения:
Геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.
Если известны два члена прогрессии \(b_m\) и \(b_n\), то используется формула:
\[ b_n = b_m \cdot q^{\,n-m}. \]
В задаче известны второй и четвёртый члены, поэтому сначала находится \(q^2\). Из условия, что все члены положительны, выбирается положительное значение знаменателя \(q=3\).
Далее по формуле \(b_2=b_1q\) находится первый член прогрессии.
Сумма первых семи членов геометрической прогрессии при \(q\ne1\) вычисляется по формуле:
\[ S_n = b_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1}. \]
Подстановка найденных значений даёт сумму \(S_7 = 2186\).
Вернуться к содержанию учебника