Упражнение 620 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 177

а) \(b_7 = b_1\cdot q^{7-1}\).

\(72{,}9 = b_1\cdot(1{,}5)^6\).

\((1{,}5)^6 = 11{,}390625\).

\(b_1 = \dfrac{72{,}9}{11{,}390625} = 6{,}4\).

\(S_7 = b_1\cdot\dfrac{q^7-1}{q-1} = 6{,}4\cdot\dfrac{(1{,}5)^7-1}{0{,}5}\).

\((1{,}5)^7 = 17{,}0859375\).

\(S_7 = 6{,}4\cdot\dfrac{16{,}0859375}{0{,}5} = 6{,}4\cdot32{,}171875 = 205{,}9\).

б) \(b_5 = b_1\cdot q^{5-1}\).

\(\dfrac{16}{9} = b_1\cdot\left(\dfrac23\right)^4\).

\(\left(\dfrac23\right)^4 = \dfrac{16}{81}\).

\(b_1 = \dfrac{16}{9}:\dfrac{16}{81} = 9\).

\(S_7 = 9\cdot\dfrac{1-\left(\dfrac23\right)^7}{1-\dfrac23}\).

\(\left(\dfrac23\right)^7 = \dfrac{128}{2187}\).

\(S_7 = 9\cdot\dfrac{1-\dfrac{128}{2187}}{\dfrac13} = 27\cdot\dfrac{2059}{2187} = \dfrac{18531}{729} = 25{,}4\).

в) \(b_3 = b_1\cdot q^{3-1}\).

\(64 = b_1\cdot\left(\dfrac12\right)^2\).

\(b_1 = 64\cdot4 = 256\).

\(S_7 = 256\cdot\dfrac{1-\left(\dfrac12\right)^7}{1-\dfrac12}\).

\(\left(\dfrac12\right)^7 = \dfrac{1}{128}\).

\(S_7 = 256\cdot\dfrac{1-\dfrac{1}{128}}{\dfrac12} = 256\cdot\dfrac{\dfrac{127}{128}}{\dfrac12} = 512\cdot\dfrac{127}{128} = 508.\)

г) \(b_4 = b_1\cdot q^{4-1}\).

\(81 = b_1\cdot\left(-\dfrac13\right)^3\).

\(\left(-\dfrac13\right)^3 = -\dfrac{1}{27}\).

\(b_1 = -2187\).

\(S_7 = b_1\cdot\dfrac{1-\left(-\dfrac13\right)^7}{1+\dfrac13}\).

\(\left(-\dfrac13\right)^7 = -\dfrac{1}{2187}\).

\(S_7 = -2187\cdot\dfrac{1+\dfrac{1}{2187}}{\dfrac43} = -2187\cdot\dfrac{\dfrac{2188}{2187}}{\dfrac43} = -2188\cdot\dfrac34 = -1641.\)

Пояснения:

Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии при \(q\neq1\) вычисляется по формуле:

\[ S_n = b_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}. \]

Если известен не первый член прогрессии, то сначала используется формула:

\[ b_k = b_1\cdot q^{k-1}, \]

из которой выражается \(b_1\).

Во всех пунктах сначала находится первый член прогрессии, затем применяется формула суммы при \(n=7\). Все вычисления выполняются по шагам с учётом знака знаменателя \(q\).