Вернуться к содержанию учебника
Найдите сумму первых семи членов геометрической прогрессии \((b_n)\), если:
а) \(b_7 = 72{,}9,\ q = 1{,}5\);
б) \(b_5 = \dfrac{16}{9},\ q = \dfrac23\);
в) \(b_3 = 64,\ q = \dfrac12\);
г) \(b_4 = 81,\ q = -\dfrac13\).
Вспомните:
а) \(b_7 = 72{,}9,\ q = 1{,}5\);
\(b_7 = b_1\cdot q^{6}\)
\(b_1=\frac{b_7}{q^6} =\frac{72,9}{1,5^6} =\frac{72,9}{\left(\frac{3}{2}\right)^6} =\)
\(={72,9}\cdot\frac{2^6}{3^6}={72,9}\cdot\frac{64}{729}=\)
\(= \frac{64}{10}= 6{,}4\).
\(\small S_7=\frac{b_7q-b_1}{q-1}=\frac{72{,}9\cdot1,5-6,4}{1,5-1}=\)
\(\small =\frac{109,35-6,4}{0,5}=\frac{102,95}{0,5}=205,9.\)
| × | 7 | 2 | 9 | ||
| 1 | 5 | ||||
| + | 3 | 6 | 4 | 5 | |
| 7 | 2 | 9 | |||
| 1 | 0 | 9 | 3 | 5 |
Ответ: \(S_7 = 205{,}9\).
б) \(b_5 = \dfrac{16}{9},\ q = \dfrac23\)
\(b_5 = b_1\cdot q^{4}\)
\(b_1=\frac{b_5}{q^4}=\dfrac{16}{9}:\left(\dfrac23\right)^4=\)
\( = \dfrac{16}{9}:\dfrac{16}{81} =\dfrac{16}{9}\cdot \dfrac{81}{16}= 9\).
\(\small S_7 =\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}= \dfrac{9\cdot\Biggl(\left(\dfrac23\right)^7-1\Biggr)}{\dfrac23-1}=\)
\(\small = \dfrac{9\cdot\Biggl(\dfrac{128}{2187}-1\Biggr)}{-\dfrac13}= \dfrac{\cancel{27}^{\color{red}{1}}\cdot2059}{\cancel{2187}_{\color{red}{81}}}=25\frac{34}{81}\)
Ответ: \(S_7 =25\frac{34}{81}\)
в) \(b_3 = 64,\ q = \dfrac12\);
\(b_3 = b_1\cdot q^{2}\)
\(b_1=\frac{b_3}{q^2}=64:\left(\dfrac12\right)^2=\)
\(=64\cdot4=256.\)
\(\small S_7 =\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}=\dfrac{ 256\cdot\Biggl(\left(\dfrac12\right)^7-1\Biggr)}{\dfrac12-1}=\)
\(\small =\dfrac{ 256\cdot\Biggl(\dfrac{1}{128}-1\Biggr)}{\dfrac12-1}=\dfrac{ 256\cdot\Biggl(-\dfrac{127}{128}\Biggr)}{-\dfrac12}=\)
\(=\dfrac{\cancel{256}^{\color{red}{2}}\cdot127\cdot2}{\cancel{128}_{\color{red}{1}}} = 508.\)
Ответ: \(S_7 = 508.\)
г) \(b_4 = 81,\ q = -\dfrac13\).
\(b_4 = b_1\cdot q^{3}\)
\(b_1=\frac{b_4}{q^3}=81:\left(-\dfrac13\right)^3=\)
\(\small =81:\left(-\dfrac{1}{27}\right)=81\cdot(-27)=-2187\).
\(\small S_7 =\frac{b_1(q^n-1)}{q-1} =\dfrac{-2187\cdot\Biggl(\left(-\dfrac13\right)^7-1\Biggr)}{-\dfrac13-1}=\)
\(=\dfrac{-2187\cdot\Biggl(-\dfrac{1}{2187}-1\Biggr)}{-1\dfrac13}=\)
\(=\dfrac{2187\cdot\Biggl(-\dfrac{2188}{2187}\Biggr)}{\dfrac43}=\)
\(= -2188\cdot\dfrac34 = -1641.\)
Ответ: \(S_7 = -1641.\)
Пояснения:
Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.
Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии:
\[ b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}. \]
Чтобы найти первый член прогрессии, нужно выразить \(b_1\) из этой формулы:
\( b_1 = \dfrac{b_n}{q^{\,n-1}}. \)
Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии при \(q \ne 1\) вычисляется по формуле:
\(S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}\)
или
\(S_n=\frac{b_nq-b_1}{q-1}\)
Вернуться к содержанию учебника