Упражнение 621 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 177

а) \(x_5 = x_1\cdot q^{5-1}\).

\(1\dfrac{1}{9} = x_1\cdot\left(\dfrac13\right)^4\).

\(1\dfrac{1}{9} = \dfrac{10}{9},\quad \left(\dfrac13\right)^4=\dfrac{1}{81}\).

\(\dfrac{10}{9} = x_1\cdot\dfrac{1}{81}\).

\(x_1 = \dfrac{10}{9}\cdot81 = 90\).

\(S_5 = x_1\cdot\dfrac{1-q^5}{1-q} = 90\cdot\dfrac{1-\left(\dfrac13\right)^5}{1-\dfrac13}\).

\(\left(\dfrac13\right)^5=\dfrac{1}{243}\).

\(S_5 = 90\cdot\dfrac{1-\dfrac{1}{243}}{\dfrac23} = 90\cdot\dfrac{\dfrac{242}{243}}{\dfrac23} = 135\cdot\dfrac{242}{243} = \dfrac{1210}{9}.\)

б) \(x_4 = x_1\cdot q^{4-1}\).

\(121{,}5 = x_1\cdot(-3)^3\).

\((-3)^3=-27\).

\(x_1 = \dfrac{121{,}5}{-27} = -4{,}5\).

\(S_5 = x_1\cdot\dfrac{1-q^5}{1-q} = -4{,}5\cdot\dfrac{1-(-3)^5}{1-(-3)}\).

\((-3)^5=-243\).

\(S_5 = -4{,}5\cdot\dfrac{1+243}{4} = -4{,}5\cdot\dfrac{244}{4} = -274{,}5.\)

Пояснения:

Для геометрической прогрессии используются формулы:

\[ x_n = x_1\cdot q^{\,n-1}, \]

\[ S_n = x_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}, \quad q\ne1. \]

В пункте а) известен пятый член прогрессии, поэтому сначала из формулы общего члена находится первый член \(x_1\). Затем подставляются значения в формулу суммы при \(n=5\).

В пункте б) аналогично сначала определяется первый член по известному четвёртому члену, после чего вычисляется сумма первых пяти членов. Знак знаменателя \(q\) учитывается при возведении в степень и при вычислении суммы.