Упражнение 618 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(b_n = 0{,}2\cdot 5^n\);

\(b_{n+1} = 0{,}2\cdot 5^{n+1}\);

\(q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{0{,}2\cdot 5^{n+1}}{0{,}2\cdot 5^n}=\)

\(=\frac{\cancel{0{,}2\cdot 5^{n}}\cdot5}{\cancel{0{,}2\cdot 5^n}}=5\)

\(b_1 = 0{,}2\cdot 5^1=1.\)

\(⇒\) \((b_n)\) - геометрическая прогрессия, со знаменателем \(q\), тогда:

\(\small S_n=\dfrac{b_1\cdot(q^n-1)}{q-1}=\dfrac{1\cdot(5^n-1)}{5-1}=\)

\(=\dfrac{5^n-1}{4}\).

Ответ: \( S_n=\dfrac{5^n-1}{4}\).

б) \(b_n = 3\cdot 2^{\,n-1}\);

\(b_{n+1} = 3\cdot 2^{\,n-1+1}=3\cdot 2^{\,n}.\)

\(q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{3\cdot 2^{\,n}}{3\cdot 2^{\,n-1}}=\)

\(=\frac{\cancel{3\cdot 2^{\,n-1}}\cdot2}{\cancel{3\cdot 2^{\,n-1}}}=2.\)

\(b_1 = 3\cdot 2^{\,1-1}=3.\)

\(⇒\) \((b_n)\) - геометрическая прогрессия, со знаменателем \(q\), тогда:

\(\small S_n=\dfrac{b_1\cdot(q^n-1)}{q-1}=\dfrac{3\cdot(2^n-1)}{2-1}=\)

\(=3(2^n-1)\).

Ответ: \(S_n=3(2^n-1)\).

в) \(b_n = 3^{\,1+n}\);

\(b_{n+1} = 3^{\,1+n+1}=3^{\,2+n}\);

\(q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{3^{\,2+n}}{3^{\,1+n}}=\)

\(=\frac{3\cdot \cancel{3^{\,1+n}}}{\cancel{3^{\,1+n}}}=3.\)

\(b_1 = 3^{\,1+1}=3^2=9\);

\(⇒\) \((b_n)\) - геометрическая прогрессия, со знаменателем \(q\), тогда:

\(S_n=\dfrac{b_1\cdot(q^n-1)}{q-1}=\dfrac{9\cdot(3^n-1)}{3-1}=\)

\(=\dfrac{9(3^n-1)}{2}=4,5(3^n-1)\).

Ответ: \(S_n=4,5(3^n-1)\).

г) \(b_n = 2^{\,n+2}\);

\(b_{n+1} = 2^{\,n+2+1}=2^{\,n+3}\);

\(q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{2^{\,n+2}}{2^{\,n+3}}=\frac12.\)

\(b_1 = 2^{\,1+2}=2^3=8\).

\(⇒\) \((b_n)\) - геометрическая прогрессия, со знаменателем \(q\), тогда:

\(S_n=\dfrac{b_1\cdot(q^n-1)}{q-1}=\)

\(=\dfrac{8\cdot(2^n-1)}{2-1}=8(2^n-1)\).

Ответ: \(S_n=8(2^n-1)\).

Пояснения:

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.

Формула \(n\) - го члена геометрической прогрессии:

\({ b_n=b_1 \cdot q^{n-1}}\)

Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии при \(q \ne 1\) вычисляется по формуле:

\(S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}\)

Чтобы доказать, что последовательность является геометрической прогрессией, достаточно записать формулу, которая выражает формулу \(n+1\) члена, а затем найти отношение \(\frac{b_{n+1}}{b_n}\), равное \(q\). Если мы получим число, то последовательность \((b_n)\) будет являться геометрической прогрессией.

\(17,\,14,\,11,\,\ldots\) - арифметическая прогрессия.

\(a_1=17,\)

\(d=14 - 17=-3\).

\(S_n>0\)

\(S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\,n=\)

\(=\dfrac{2\cdot17+(-3)\cdot(n-1)}{2}\,n=\)

\(=\dfrac{34-3n+3}{2}\,n=\dfrac{-3n+37}{2}\,n\).

\(\dfrac{-3n+37}{2}\,n > 0\)  \(/\times2\)

\((-3n + 37)n > 0\)

\(n\in N\), значит, \(n>0\), то:

\(-3n + 37>0\)

\(-3n > -37\)  \(/\times(-1)\)

\(3n<37\)

\(n<\dfrac{37}{3}\)

\(n<12\dfrac{1}{3}\)

\(n=12\) - наибольшее число членов арифметической прогрессии, при сложении которых получается положительное число.

Ответ: \(n=12\).

Пояснения:

Последовательность \(17,14,11,\ldots\) — арифметическая прогрессия с разностью \(d=-3\), то есть её члены убывают.

Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии выражается формулой:

\(S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\,n\).

Подставляя \(a_1=17\) и \(d=-3\), получаем \(S_n=\dfrac{-3n+37}{2}\,n\). Чтобы сумма была положительной, нужно \(S_n>0\). Так как \(n>0\), знак суммы определяется выражением \(37-3n\). Отсюда \(n<12\dfrac{1}{3}\), и максимальное натуральное \(n\) равно 12.