Вернуться к содержанию учебника
(Для работы в парах.) Докажите, что последовательность \((b_n)\) является геометрической прогрессией, и найдите сумму первых \(n\) её членов, если:
а) \(b_n = 0{,}2\cdot 5^n\);
б) \(b_n = 3\cdot 2^{\,n-1}\);
в) \(b_n = 3^{\,1+n}\);
г) \(b_n = 2^{\,n+2}\).
1) обсудите ход доказательства.
2) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто - задания б) и г), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания, и исправьте ошибки, если они допущены.
Введите текст
а) \(\dfrac{b_{n+1}}{b_n}=\dfrac{0{,}2\cdot 5^{n+1}}{0{,}2\cdot 5^n}=5\), значит \(q=5\).
\(b_1=0{,}2\cdot 5^1=1\).
\(S_n=b_1\cdot\dfrac{q^n-1}{q-1}=1\cdot\dfrac{5^n-1}{5-1}=\dfrac{5^n-1}{4}\).
б) \(\dfrac{b_{n+1}}{b_n}=\dfrac{3\cdot 2^{n}}{3\cdot 2^{n-1}}=2\), значит \(q=2\).
\(b_1=3\cdot 2^{0}=3\).
\(S_n=b_1\cdot\dfrac{q^n-1}{q-1}=3\cdot\dfrac{2^n-1}{2-1}=3(2^n-1)\).
в) \(\dfrac{b_{n+1}}{b_n}=\dfrac{3^{(n+1)+1}}{3^{n+1}}=\dfrac{3^{n+2}}{3^{n+1}}=3\), значит \(q=3\).
\(b_1=3^{1+1}=3^2=9\).
\(S_n=b_1\cdot\dfrac{q^n-1}{q-1}=9\cdot\dfrac{3^n-1}{3-1}=\dfrac{9(3^n-1)}{2}\).
г) \(\dfrac{b_{n+1}}{b_n}=\dfrac{2^{(n+1)+2}}{2^{n+2}}=\dfrac{2^{n+3}}{2^{n+2}}=2\), значит \(q=2\).
\(b_1=2^{1+2}=2^3=8\).
\(S_n=b_1\cdot\dfrac{q^n-1}{q-1}=8\cdot\dfrac{2^n-1}{2-1}=8(2^n-1)\).
Пояснения:
Правила и формулы, которые используются.
1) Последовательность \((b_n)\) является геометрической прогрессией, если отношение соседних членов постоянно:
\[ \frac{b_{n+1}}{b_n}=q=\text{const}. \]
2) Если найден знаменатель \(q\), то первый член можно найти подстановкой \(n=1\) в формулу для \(b_n\).
3) Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии при \(q\ne1\):
\[ S_n=b_1+b_2+\cdots+b_n=b_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1}. \]
Пояснение к каждому пункту.
а) В выражении \(b_n=0{,}2\cdot 5^n\) при переходе от \(n\) к \(n+1\) степень пятёрки увеличивается на 1, поэтому отношение \(\dfrac{b_{n+1}}{b_n}=5\) не зависит от \(n\). Значит, это геометрическая прогрессия с \(q=5\). Далее \(b_1=0{,}2\cdot 5=1\), и сумма находится по формуле \(S_n=b_1\cdot\dfrac{q^n-1}{q-1}\).
б) В выражении \(b_n=3\cdot 2^{n-1}\) при увеличении \(n\) на 1 показатель степени у двойки возрастает на 1, поэтому отношение соседних членов равно 2. Тогда \(q=2\), \(b_1=3\), и сумма \(S_n=3(2^n-1)\).
в) В выражении \(b_n=3^{1+n}=3^{n+1}\) при увеличении \(n\) на 1 показатель степени увеличивается на 1, значит \(\dfrac{b_{n+1}}{b_n}=3\), то есть \(q=3\). Первый член \(b_1=3^2=9\), сумма \(S_n=\dfrac{9(3^n-1)}{2}\).
г) В выражении \(b_n=2^{n+2}\) при увеличении \(n\) на 1 показатель степени увеличивается на 1, поэтому \(\dfrac{b_{n+1}}{b_n}=2\), то есть \(q=2\). Первый член \(b_1=2^3=8\), сумма \(S_n=8(2^n-1)\).
Вернуться к содержанию учебника