Вернуться к содержанию учебника
(Для работы в парах.) Докажите, что последовательность \((b_n)\) является геометрической прогрессией, и найдите сумму первых \(n\) её членов, если:
а) \(b_n = 0{,}2\cdot 5^n\);
б) \(b_n = 3\cdot 2^{\,n-1}\);
в) \(b_n = 3^{\,1+n}\);
г) \(b_n = 2^{\,n+2}\).
1) обсудите ход доказательства.
2) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто - задания б) и г), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания, и исправьте ошибки, если они допущены.
а) \(b_n = 0{,}2\cdot 5^n\);
\(b_{n+1} = 0{,}2\cdot 5^{n+1}\);
\(q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{0{,}2\cdot 5^{n+1}}{0{,}2\cdot 5^n}=\)
\(=\frac{\cancel{0{,}2\cdot 5^{n}}\cdot5}{\cancel{0{,}2\cdot 5^n}}=5\)
\(b_1 = 0{,}2\cdot 5^1=1.\)
\(⇒\) \((b_n)\) - геометрическая прогрессия, со знаменателем \(q\), тогда:
\(\small S_n=\dfrac{b_1\cdot(q^n-1)}{q-1}=\dfrac{1\cdot(5^n-1)}{5-1}=\)
\(=\dfrac{5^n-1}{4}\).
Ответ: \( S_n=\dfrac{5^n-1}{4}\).
б) \(b_n = 3\cdot 2^{\,n-1}\);
\(b_{n+1} = 3\cdot 2^{\,n-1+1}=3\cdot 2^{\,n}.\)
\(q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{3\cdot 2^{\,n}}{3\cdot 2^{\,n-1}}=\)
\(=\frac{\cancel{3\cdot 2^{\,n-1}}\cdot2}{\cancel{3\cdot 2^{\,n-1}}}=2.\)
\(b_1 = 3\cdot 2^{\,1-1}=3.\)
\(⇒\) \((b_n)\) - геометрическая прогрессия, со знаменателем \(q\), тогда:
\(\small S_n=\dfrac{b_1\cdot(q^n-1)}{q-1}=\dfrac{3\cdot(2^n-1)}{2-1}=\)
\(=3(2^n-1)\).
Ответ: \(S_n=3(2^n-1)\).
в) \(b_n = 3^{\,1+n}\);
\(b_{n+1} = 3^{\,1+n+1}=3^{\,2+n}\);
\(q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{3^{\,2+n}}{3^{\,1+n}}=\)
\(=\frac{3\cdot \cancel{3^{\,1+n}}}{\cancel{3^{\,1+n}}}=3.\)
\(b_1 = 3^{\,1+1}=3^2=9\);
\(⇒\) \((b_n)\) - геометрическая прогрессия, со знаменателем \(q\), тогда:
\(S_n=\dfrac{b_1\cdot(q^n-1)}{q-1}=\dfrac{9\cdot(3^n-1)}{3-1}=\)
\(=\dfrac{9(3^n-1)}{2}=4,5(3^n-1)\).
Ответ: \(S_n=4,5(3^n-1)\).
г) \(b_n = 2^{\,n+2}\);
\(b_{n+1} = 2^{\,n+2+1}=2^{\,n+3}\);
\(q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{2^{\,n+2}}{2^{\,n+3}}=\frac12.\)
\(b_1 = 2^{\,1+2}=2^3=8\).
\(⇒\) \((b_n)\) - геометрическая прогрессия, со знаменателем \(q\), тогда:
\(S_n=\dfrac{b_1\cdot(q^n-1)}{q-1}=\)
\(=\dfrac{8\cdot(2^n-1)}{2-1}=8(2^n-1)\).
Ответ: \(S_n=8(2^n-1)\).
Пояснения:
Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.
Формула \(n\) - го члена геометрической прогрессии:
\({ b_n=b_1 \cdot q^{n-1}}\)
Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии при \(q \ne 1\) вычисляется по формуле:
\(S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}\)
Чтобы доказать, что последовательность является геометрической прогрессией, достаточно записать формулу, которая выражает формулу \(n+1\) члена, а затем найти отношение \(\frac{b_{n+1}}{b_n}\), равное \(q\). Если мы получим число, то последовательность \((b_n)\) будет являться геометрической прогрессией.
Вернуться к содержанию учебника