Упражнение 627 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 178

а) \(1{,}5x - x^2 \le 0\)

\(-x^2 + 1{,}5x \le 0\)

\(y=-x^2 + 1{,}5x\) - парабола, ветви которой направлены вниз, так как \(a=-1<0.\)

\(-x^2 + 1{,}5x=0\)

\(-x(x - 1{,}5)= 0\)

\(x = 0\)   или \(x -1{,}5=0\)

                       \(x=1,5\)

Ответ: \(x\in(-\infty; 0]\cup[1,5; + \infty).\)

б) \(x^2 + x + 6 > 0\)

\(y=x^2 + x + 6 \) -  парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a=1>0.\)

\(x^2 + x + 6 =0\)

\(D = b^2-4ac=1^2 - 4\cdot1\cdot6 =\)

\(= 1 - 24 = -23<0\) - корней нет. 

Ответ: \(x\in(-\infty; +\infty)\).

Пояснения:

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx + c > 0\) и \(ax^2 + bx + c < 0\):

1) находим дискриминант квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\) и выясняем имеет ли трехчлен корни;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечаем их на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\); если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при \(a > 0\) или нижней при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c > 0\)) или ниже оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c < 0\)).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

Дискриминант квадратного трехчлена

\(ax^2 + bx + c \):

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то квадратный трехчлен имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Если \(D = 0\), то квадратный трехчлен имеет 1 корень:

\(x = -\frac{b}{2a}\).

Если \(D < 0\), то квадратный трехчлен не имеет корней.

В случае, когда коэффициент \(c = 0\), то есть имеем двучлен \(ax^2 + bx\), корни находим разложением многочлена на множители \(x(ax + b)\) и используем то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(x = 0\)  или \(ax + b = 0\), откуда \(x = -\frac{b}{a}\).