Упражнение 595 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 172

\(S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot h\cdot AC\).

Т.к.  \(A_1C_1\) - средняя линия, то \(h_1=\\)

\(S_{A_1BC_1}=\frac{1}{2}\cdot h_1\cdot A_1C_1\)

\(S_{ABC}=768\).

\(S_{A_1BC_1}=768\cdot\left(\dfrac12\right)^2=768\cdot\dfrac14\).

\(S_{A_2BC_2}=S_{A_1BC_1}\cdot\dfrac14=768\cdot\left(\dfrac14\right)^2\).

\(\ldots\)

\(S_{A_9BC_9}=768\cdot\left(\dfrac14\right)^9=\dfrac{768}{4^9}=\dfrac{768}{262144}=\dfrac{3}{1024}\ \text{см}^2.\)

Пояснения:

Правила и факты, которые используются.

1) Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон, параллельна третьей стороне, а отрезки от вершины до этих середины равны половинам соответствующих сторон.

2) Если два треугольника подобны с коэффициентом подобия \(k\), то их площади относятся как \(k^2\):

\[ \frac{S_2}{S_1}=k^2. \]

Почему каждый раз площадь уменьшается в 4 раза.

Треугольник \(A_1BC_1\) получен так: точки \(A_1\) и \(C_1\) — середины сторон \(AB\) и \(BC\). Значит,

\[ BA_1=\frac12\,BA,\quad BC_1=\frac12\,BC. \]

Следовательно, треугольник \(A_1BC_1\) подобен треугольнику \(ABC\) (общий угол при \(B\), а прилежащие стороны уменьшились в 2 раза), и коэффициент подобия равен

\[ k=\frac12. \]

Тогда его площадь равна

\[ S_{A_1BC_1}=S_{ABC}\cdot k^2=768\cdot\left(\frac12\right)^2=768\cdot\frac14. \]

Дальше в треугольнике \(A_1BC_1\) снова берут середины сторон \(BA_1\) и \(BC_1\), получая треугольник \(A_2BC_2\). Он снова подобен предыдущему с тем же коэффициентом \(k=\frac12\), поэтому площадь снова умножается на \(\left(\frac12\right)^2=\frac14\).

Так происходит на каждом шаге, значит после \(9\) таких шагов:

\[ S_{A_9BC_9}=768\cdot\left(\frac14\right)^9. \]

Далее вычисляем:

\[ 4^9=262144,\quad 768:256=3,\quad 262144:256=1024, \]

поэтому

\[ S_{A_9BC_9}=\frac{768}{262144}=\frac{3}{1024}\ \text{см}^2. \]