Вернуться к содержанию учебника
В треугольнике \(ABC\) (рис. 72) провели среднюю линию \(A_1C_1\), в треугольнике \(A_1BC_1\) также провели среднюю линию \(A_2C_2\), во вновь образовавшемся треугольнике \(A_2BC_2\) снова провели среднюю линию \(A_3C_3\) и т. д. Найдите площадь треугольника \(A_9BC_9\), если известно, что площадь треугольника \(ABC\) равна \(768\ \text{см}^2\).
Вспомните:
\(\triangle ABC \sim \triangle A_1BC_1\) - по двум углам (\(\angle B - общий, \angle BAC = \angle BA_1C_1\) - как соответственные при параллельных прямых \(AC\) и \( A_1C_1\))
Коэффициент подобия данные треугольников:
\(k=\frac{A_1C_1}{AC}=\frac{A_1C_1}{2A_1C_1}=\frac12\)
\(\frac{S_{A_1BC_1}}{S_{ABC}}=\frac{S}{S_1}=k^2=\frac14\)
Откуда:
\(S_{A_1BC_1}=S_{ABC}\cdot \frac14\)
Аналогично доказываем, что:
\(S_{A_2BC_2}=S_{A_1BC_1}\cdot \frac14\) и т.д.
То есть площадь каждого следующего треугольника получается из площади предыдущего треугольника умножением на \(\frac14\), \(⇒\) \(S, S_1, S_2,...\) - геометрическая прогрессия \(b_n\).
\(b_n=b_1q^{n-1}\), где \(q=k^2=\frac14\), \(b_1=S.\)
Тогда:
\(S_{A_9BC_9}=b_{10}=b_1q^{10-1}=\)
\(=768\cdot\left(\dfrac14\right)^9=\dfrac{768}{4^9}=\)
\(=\dfrac{768}{262144}=\dfrac{3}{1024}\) (см2).
Ответ: \(S_{A_9BC_9}=\dfrac{3}{1024}\) см2.
Пояснения:
Правила и факты, которые используются.
1) Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон, параллельна третьей стороне, а отрезки от вершины до этих середины равны половинам соответствующих сторон.
2) Если два треугольника подобны с коэффициентом подобия \(k\), то их площади относятся как \(k^2\):
\( \frac{S_2}{S_1}=k^2. \)
3) Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.
Вернуться к содержанию учебника