Упражнение 592 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а)  \(1{,}5;\ 2{,}5;\ 3{,}5;\ldots\); 

\(a_1 = 1{,}5;\ a_2 = 2{,}5; \ a_3 = 3{,}5\)

\(d=a_2-a_1=2,5-1,5=1.\)

\( a_4=a_3+d=3,5+1 = 4{,}5\)

\(a_5=a_4+d=4,5+1 = 5{,}5\).

Точки на координатной плоскости:

\(\small(1;1{,}5),\ (2;2{,}5),\ (3;3{,}5),\ (4;4{,}5),\ (5;5{,}5).\)

б) \(8;\ 4;\ 2;\ldots\)

\(b_1 = 8;\ b_2 = 4; b_3 = 2\)

\(q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{4}{8}=\frac12\)

\( b_4 = b_3 \cdot q=2\cdot\frac12=1;\)

\(b_5 =b_4 \cdot q=1\cdot\frac12= 0{,}5\).

Точки на координатной плоскости: \((1;8),\ (2;4),\ (3;2),\ (4;1),\ (5;0{,}5)\).

Пояснения:

Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа \(d\), называемого разностью прогрессии.

В пункте а) разность равна: \[ d = 2{,}5 - 1{,}5 = 1. \] Поэтому каждый следующий член увеличивается на 1, что позволяет найти первые пять членов последовательности.

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.

В пункте б) знаменатель равен: \[ q = \dfrac{4}{8} = \dfrac12. \] Это означает, что каждый следующий член в 2 раза меньше предыдущего.

Для изображения на координатной плоскости по оси \(x\) откладывается номер члена прогрессии, а по оси \(y\) — значение соответствующего члена. Полученные пары чисел записываются в виде координат точек.

\((a_n)\) - арифметическая прогрессия.

\(a_1=32\) и \(d=-1{,}5\)

\(a_n=a_1+(n-1)d\)

\(a_n=32+(n-1)(-1{,}5)\)

\(a_n=32-1{,}5n+1,5\)

\(a_n=33,5-1{,}5n\)

а) \(a_n = 0\)

\(33,5-1{,}5n=0\)

\(-1{,}5n=-33,5\)

\(n = \frac{33,5}{1,5}\)

\(n = \frac{335}{15}\)

\(n=\dfrac{67}{3}\)

\(n = 22\dfrac13\notin N\)

Ответ: число \(0\) не является членом прогрессии.

б) \(a_n = -28\)

\(33,5-1{,}5n=-28\)

\(-1{,}5n=-28 - 33,5\)

\(-1,5n =-61,5\)

\(n = \frac{61,5}{1,5}\)

\(n = \frac{615}{15}\)

\(n=41 \in N\)

Ответ: число \(-28\) является членом прогрессии.

Пояснения:

Любой член этой прогрессии можно найти по формуле:

\[a_n=a_1+(n-1)d.\]

Чтобы проверить, принадлежит ли число данной прогрессии, его приравнивают к выражению для \(a_n\) и решают полученное уравнение относительно \(n\).

Если найденное значение \(n\) — натуральное число, то данное число является членом прогрессии. Если \(n\) не является натуральным числом, то данное число не входит в прогрессию.