Вернуться к содержанию учебника
Найдите седьмой и \(n\)-й члены геометрической прогрессии:
а) \(2;\ -6;\ \ldots\);
б) \(-40;\ -20;\ \ldots\);
в) \(-0{,}125;\ 0{,}25;\ \ldots\);
г) \(-10;\ 10;\ \ldots\).
Вспомните:
а) \(b_1 = 2,\ b_2 = -6\)
\(q =\frac{b_2}{b_1}= \dfrac{-6}{2} = -3\).
\(b_7 =b_1\cdot q^{7-1}= 2\cdot(-3)^{7-1} =\)
\(=2\cdot(-3)^6 = 2\cdot729 = 1458\).
\(b_n = 2\cdot(-3)^{n-1}\).
б) \(b_1 = -40,\ b_2 = -20\)
\(q =\frac{b_2}{b_1}= \dfrac{-20}{-40} = \dfrac12\).
\(b_7 =b_1\cdot q^{7-1}= -40\cdot\left(\dfrac12\right)^{7-1} =\)
\(=-40\cdot\left(\dfrac12\right)^6 = -\dfrac{40}{64} = -\dfrac{5}{8}\).
\(b_n = -40\cdot\left(\dfrac12\right)^{n-1}\).
в) \(b_1 = -0{,}125,\ b_2 = 0{,}25\)
\(q =\frac{b_2}{b_1}= \dfrac{0{,}25}{-0{,}125} = -2\).
\(b_7 =b_1\cdot q^{7-1}= -0{,}125\cdot(-2)^{7-1} =\)
\(=-0{,}125\cdot(-2)^6 =-0{,}125\cdot64 = -8\).
| × | 0 | 1 | 2 | 5 | |
| 6 | 4 | ||||
| + | 5 | 0 | 0 | ||
| 7 | 5 | 0 | |||
| 8 | 0 | 0 | 0 |
\(b_n = -0{,}125\cdot(-2)^{n-1}\).
г) \(b_1 = -10,\ b_2 = 10\)
\(q =\frac{b_2}{b_1}= \dfrac{10}{-10} = -1\).
\(b_7 =b_1\cdot q^{7-1}= -10\cdot(-1)^{7-1} =\)
\(=-10\cdot(-1)^6 = -10\).
\(b_n = -10\cdot(-1)^{n-1}\).
Пояснения:
Геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.
Знаменатель геометрической прогрессии находится по формуле:
\( q = \dfrac{b_{n+1}}{b_n}. \)
Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии имеет вид:
\[ b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}. \]
Чтобы найти седьмой член прогрессии, в формулу подставляется \(n = 7\). Для нахождения \(n\)-го члена формула записывается в общем виде.
В пунктах а) и в) знаменатель по модулю больше 1, поэтому значения членов прогрессии быстро увеличиваются по модулю.
В пункте б) знаменатель меньше 1, поэтому члены прогрессии уменьшаются по модулю.
В пункте г) знаменатель равен \(-1\), поэтому значения членов прогрессии чередуются по знаку и повторяются по модулю.
Вернуться к содержанию учебника