Упражнение 766 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 199

Пусть скорость велосипедиста равна \(x\) км/ч (\(x > 0\)), а скорость мотоциклиста равна \(y\) км/ч (\(y > 0\)). Тогда:

\(2x+2y=160\)   \(/ : 2\)

\[x+y=80\]

Через \(0{,}5\) ч после встречи велосипедисту осталось проехать:

\(160-(2x+0{,}5x)=160-2{,}5x\).

А мотоциклисту:

\(160-(2y+0{,}5y)=160-2{,}5y\).

Тогда:

\(160-2{,}5x=11(160-2{,}5y)\)

\(160-2{,}5x=1760-27{,}5y\)

\(-2,5x + 27,5y = 1760 - 160\)

\(-2,5x + 27,5y =1600\)  \(/\times2\)

\(-5x + 55y =3200\)   \(/ : 5\)

\(-5x + 55y =3200\)

\(-x + 11y = 640\)

Составим систему уравнений:

\(\begin{cases} x+y=80, \\ -x + 11y = 640 \end{cases}\)  \((+)\)

1) \((x+y) + (-x + 11y) = 80 + 640\)

\(\cancel x+y - \cancel x + 11y = 720\)

\(12y = 720\)

\(y = \frac{720}{12}\)

\(y = 60\)

2) \(x+60=80\)

\(x = 80 - 60\)

\(x = 20\)

Ответ: скорость велосипедиста равна \(20\) км/ч, скорость мотоциклиста - \(60\) км/ч.

Пояснения:

Используемые формулы:

\[s=vt\]

1) Так как они выехали одновременно навстречу друг другу и встретились через \(2\) часа, то сумма расстояний, пройденных ими за это время, равна \(160\) км:

\[2x+2y=160.\]

Делим на \(2\) и получаем связь скоростей:

\[v+u=80.\]

2) Через \(30\) минут (\(0{,}5\) часа) после встречи каждый проедет ещё по \(0{,}5\) часа со своей скоростью.

Велосипедист к этому моменту проедет всего \(2x+0{,}5x=2{,}5x\), значит ему останется:

\[160-2{,}5x.\]

Мотоциклист к этому моменту проедет всего \(2y+0{,}5y=2{,}5y\), значит ему останется:

\[160-2{,}5y.\]

По условию велосипедисту осталось проехать в \(11\) раз больше, чем мотоциклисту:

\[160-2{,}5x=11(160-2{,}5y).\]

3) Составляем систему из двух полученных уравнений и решаем ее методом подстановки. И определяем: скорость мотоциклиста \(60\) км/ч, скорость велосипедиста \(20\) км/ч.