Упражнение 771 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 200

а) \(\begin{cases}x+xy+y=11,\\ x-xy+y=1\end{cases}\)  \((+)\) и \((-)\)

\(\begin{cases}(x+xy+y)+(x-xy+y)=11+1,\\ (x-xy+y)-(x-xy+y)=11-1\end{cases}\)

\(\begin{cases}x+\cancel{xy}+y+x-\cancel{xy}+y=12,\\ \cancel x+xy+\cancel y-\cancel x+xy-\cancel y=10\end{cases}\)

\(\begin{cases}2x+2y=12,    / : 2\\ 2xy=10     / : 2\end{cases}\)

\(\begin{cases}x+y=6,\\ xy=5\end{cases}\)

\(\begin{cases}y=6-x,\\ x(6-x)=5\end{cases}\)

\(x(6-x)=5\)

\(6x - x^2 - 5 = 0\)   \(/\times (-1)\)

\(x^2 - 6x + 5 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -6\),  \(c = 5\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-6)^2 - 4\cdot1\cdot5 =\)

\( = 36 - 20 = 16 > 0\)- два действительных корня.

\(x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt{16} = 4\)

\(x_{1}=\frac{6 + 4}{2\cdot1}=\frac{10}{2} = 5\)

\(x_{2}=\frac{6 - 4}{2\cdot1}=\frac{2}{2} = 1\)

Если \(x = 5\), то

\(y=6- 5 = 1\).

Если \(x = 1\), то

\(y=6- 1 = 5\).

Ответ: \((5;1),\;(1;5)\).

б) \(\begin{cases}2x-y-xy=14,\\ x+2y+xy=-7\end{cases}\)   \((+)\)

\(\begin{cases}(2x-y-xy) + (x+2y+xy)=14 + (-7),\\ x+2y+xy=-7\end{cases}\)

\(\begin{cases}2x-y-\cancel{xy} + x+2y+\cancel{xy}=14 + (-7),\\ x+2y+xy=-7\end{cases}\)

\(\begin{cases}3x+ y=7,\\ x+2y+xy=-7\end{cases}\)

\(\begin{cases}y=7-3x,\\ x+2(7-3x)+x(7-3x)=-7\end{cases}\)

\(x+2(7-3x)+x(7-3x)=-7\)

\(x + 14 - 6x + 7x -3x^2 + 7 = 0\)

\(-3x^2 +2x + 21 = 0\)    \(/\times(-1)\)

\(3x^2 - 2x - 21 = 0\)

\(a = 3\),  \(b = -2\),  \(c = -21\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-2)^2 - 4\cdot3\cdot(-21) =\)

\(=4 + 252 = 256 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt{256} = 16\)

\(x_{1}=\frac{2 + 16}{2\cdot3}=\frac{18}{6} = 3\)

\(x_{1}=\frac{2 - 16}{2\cdot3}=\frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}= -2\frac{1}{3} \)

Если \(x = 3\), то

\(y = 7 - 3\cdot3 = 7 - 9 = -2\).

Если \(x = -2\frac{1}{3}\), то

\(y = 7 - 3\cdot\left(-2\frac{1}{3}\right) =\)

\(=7 + 3\cdot\frac{7}{3} =7+7= 14\).

Ответ: \((3;-2),\;\left(-2\dfrac{1}{3};14\right)\)

в) \(\begin{cases}x^2+y^2=34,\\ xy=15 /\times2\end{cases}\)

\(\begin{cases}x^2+y^2=34,\\ 2xy=30\end{cases}\)   \((-)\)

\(\begin{cases}x^2-2xy+y^2=34 - 30,\\ 2xy=30\end{cases}\)

\(\begin{cases}(x-y)^2=4,\\ 2xy=30\end{cases}\)

\(\begin{cases}x-y=\pm2,\\ 2xy=30\end{cases}\)

1) \(\begin{cases}x-y=2,\\ 2xy=30\end{cases}\)

\(\begin{cases}x=y + 2,\\ 2(y+2)y=30\end{cases}\)

\(2(y+2)y=30\)

\(2y^2 + 4y - 30 = 0\)  \(/ : 2\)

\(y^2 + 2y - 15 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 2\),  \(c = -15\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=2^2 - 4\cdot1\cdot(-15) =\)

\(=4 + 60 = 64 > 0\) - два действительных корня.

\(y_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt{64} = 8\)

\(y_{1}=\frac{-2 + 8}{2\cdot1}=\frac{6}{2} = 3\)

\(y_{2}=\frac{-2 - 8}{2\cdot1}=\frac{-10}{2} = 5\)

Если \(y = 3\), то

\(x = 3 + 2 = 5\).

Если \(y = -5\), то

\(x = -5 + 2 = -3\).

2) \(\begin{cases}x-y=-2,\\ 2xy=30\end{cases}\)

\(\begin{cases}x=y - 2,\\ 2(y-2)y=30\end{cases}\)

\(2(y-2)y=30\)

\(2y^2 - 4y - 30 = 0\)  \(/ : 2\)

\(y^2 - 2y - 15 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -2\),  \(c = -15\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-15) =\)

\(=4 + 60 = 64 > 0\) - два действительных корня.

\(y_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt{64} = 8\)

\(y_{1}=\frac{2 + 8}{2\cdot1}=\frac{10}{2} = 5\)

\(y_{2}=\frac{2 - 8}{2\cdot1}=\frac{-6}{2} = -3\)

Если \(y = 5\), то

\(x = 5 - 2 = 3\).

Если \(y = -3\), то

\(x = -3 - 2 = -5\).

Ответ: \((5;3),\;(3;5),\)

\((-3;-5),\;(-5;-3)\).

г) \(\begin{cases}x^2-y^2=12,\\ xy=8\end{cases}\)

\(\begin{cases}x^2-\left(\dfrac8x\right)^2=12,\\ y=\dfrac8x\end{cases}\)

\(x^2-\left(\dfrac8x\right)^2=12\)

\(x^2-\dfrac{64}{x^2}=12\)    \(/\times x^2\)

ОДЗ: \(x \neq 0\)

\(x^4 - 64 = 12x^2\)

\(x^4 - 12x^2 - 64 =0\)

Пусть \(x^2 = t > 0\), тогда

\(t^2 - 12t - 64 =0\)

\(a = 1\),  \(b = -12\),  \(c = -64\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-12)^2 - 4\cdot1\cdot(-64) = \)

\(=144 + 256 = 400 > 0\) - два действительных корня.

\(t_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt{400} = 20\)

\(t_{1}=\frac{12 + 20}{2\cdot1}=\frac{32}{2} = 16\)

\(t_{2}=\frac{12 - 20}{2\cdot1}=\frac{-8}{2} = -4 < 0\) - не удовлетворяет условию.

Если \(t = 16\), то

\(x^2 = 16\)

\(x = \pm \sqrt {16}\)

\(x = \pm4\)

Если \(x = 2\), то

\(y = \frac82 = 4\).

Если \(x = -2\), то

\(y = \frac{8}{-2} = -4\).

Ответ: \( (4;2),\;(-4;-2)\).

---

Пояснения:

При решении систем уравнений использовали метод сложения и метод подстановки.

Метод подстановки: из одного уравнения выражают одну переменную и подставляют в другое уравнение. Тогда система сводится к одному уравнению с одной  переменной. После нахождения первой переменной вторую находят подстановкой обратно в выражение.

Метод сложения: складываем или вычитаем уравнения системы, чтобы избавиться от одной из переменных и получить уравнение с одной переменной или упростить уравнения, чтобы в дальнейшем использовать метод подстановки.

Для решения квадратного уравнения

\(ax^2+bx+c=0\)

используют дискриминант:

\(D=b^2-4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}.\)