Вернуться к содержанию учебника
Если от числителя и знаменателя обыкновенной дроби отнять по единице, то дробь увеличится на \(\dfrac{1}{6}\). Если же к числителю и знаменателю прибавить по единице, то дробь уменьшится на \(\dfrac{1}{10}\). Найдите эту дробь.
Вспомните:
Пусть исходная дробь равна \(\dfrac{x}{y}\). Тогда новые дроби: \(\dfrac{x-1}{y-1}\) и \(\dfrac{x+1}{y+1}\).
Составим систему уравнений:
\(\begin{cases} \dfrac{x-1}{y-1} - \dfrac{x}{y} = \dfrac{1}{6}, /\times6y(y-1)\\[6pt] \dfrac{x}{y} - \dfrac{x+1}{y+1} = \dfrac{1}{10} /\times10y(y+1) \end{cases}\)
ОДЗ: \(y\ne0\), \(y \ne1\), \(y\ne-1\).
\(\begin{cases} 6y(x-1)-6x(y-1) = y(y-1) \\[2pt] 10x(y+1) - 10y(x+1) = y(y+1) \end{cases}\)
\(\begin{cases} \cancel{6xy}-6y-\cancel{6xy}+6x = y^2-y \\[2pt] \cancel{10xy}+10x - \cancel{10xy}-10y = y^2+y \end{cases}\)
\(\begin{cases} 6x-6y = y^2-y \\[2pt] 10x - 10y = y^2+y \end{cases}\)
\(\begin{cases} 6x = y^2-y + 6y \\[2pt] 10x = y^2+y +10y \end{cases}\)
\(\begin{cases} 6x = y^2+5y / : 6\\[2pt] 10x = y^2+11y / : 10\end{cases}\)
\(\begin{cases} x = \dfrac{y^2+5y}{6} \\[2pt] x = \dfrac{y^2+11y}{10} \end{cases}\)
\(\dfrac{y^2+5y}{6}=\dfrac{y^2+11y}{10}\)
\(10(y^2+5y)=6(y^2+11y)\)
\(10y^2+50y=6y^2+66y\)
\(10y^2+50y-6y^2-66y = 0\)
\(4y^2-16y=0\)
\(4y(y-4)=0\)
\(y=0\) или \(y - 4 = 0\)
\(y = 4\)
\(y = 0\) - не удовлетворяет ОДЗ.
Если \(y = 4\), то
\(x = \dfrac{4^2+5\cdot4}{6} =\dfrac{16+20}{6} =\dfrac{36}{6} =6\)
Искомая дробь: \(\dfrac{6}{4}\).
Ответ: \(\dfrac{6}{4}\).
Пояснения:
1. Обозначение дроби.
Пусть исходная дробь равна \(\dfrac{x}{y}\), где \(y\neq 0\).
2. Составление первого уравнения.
Если от числителя и знаменателя отнять по 1, получим \(\dfrac{x-1}{y-1}\). По условию она больше исходной на \(\dfrac{1}{6}\):
\[\frac{x-1}{y-1}-\frac{x}{y}=\frac{1}{6}.\]
Приведение к общему знаменателю приводит к уравнению:
\[6x=y^2+5y.\]
3. Составление второго уравнения.
Если прибавить по 1, получим \(\dfrac{x+1}{y+1}\), которая меньше исходной на \(\dfrac{1}{10}\):
\[\frac{x}{y}-\frac{x+1}{y+1}=\frac{1}{10}.\]
После преобразований получаем:
\[10x=y^2+11y.\]
4. Решение системы.
Решаем систему способом подстановки. Приравниваем два выражения для \(x\) и решаем уравнение относительно \(y\). Получаем \(y=4\). Затем находим \(x=6\).
Исходная дробь равна \(\frac{6}{4}.\)
Вернуться к содержанию учебника