Упражнение 780 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 201

Пусть первый рабочий выполняет всю работу за \(x\) дней (\(x > 0\)), второй — за \(y\) дней (\(y > 0\)). За один день они выполнят \(\frac{1}{10}\) всей работы:

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{10}\).

За 7 дней первый и второй рабочий вместе выполнят \(\dfrac{7}{10}\) всей работы, тогда второму рабочему за 9 дней останется выполнить \(1 - \dfrac{7}{10} = \dfrac{3}{10}\) всей работы, значит:

\( \dfrac{9}{y}= \dfrac{3}{10}\)

Составим систему уравнений:

\(\begin{cases} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{10} \\[8pt] \dfrac{9}{y}= \dfrac{3}{10}  / : 9 \end{cases}\)

\(\begin{cases} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{10} \\[8pt] \dfrac{1}{y}= \dfrac{1}{30} \end{cases}\)

\(\begin{cases} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{30}=\dfrac{1}{10} \\[8pt] y = 30 \end{cases}\)

\(\begin{cases} \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{10} ^{\color{blue}{\backslash3}} - \dfrac{1}{30} \\[8pt]y = 30 \end{cases}\)

\(\begin{cases} \dfrac{1}{x}=\dfrac{3}{30} - \dfrac{1}{30} \\[8pt]y = 30 \end{cases}\)

\(\begin{cases} \dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{30} \\[8pt] y = 30 \end{cases}\)

\(\begin{cases} \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{15} \\[8pt] y = 30 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x=15 \\[2pt] y = 30 \end{cases}\)

Ответ: первый за \(15\) дней, второй за \(30\) дней.

Пояснения:

1. Производительность.

Если рабочий выполняет работу за \(x\) дней, то за 1 день он делает \(\dfrac{1}{x}\) работы.

2. Совместная работа.

Если работают вместе, их производительности складываются:

\[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{10}.\]

3. Нахождение оставшейся работы.

За 7 дней выполнено \(\dfrac{7}{10}\) всей работы, осталось \(\dfrac{3}{10}\).

4. Использование второго условия.

Второй рабочий один за 9 дней сделал \(\dfrac{3}{10}\) работы, поэтому:

\[\frac{9}{y}=\frac{3}{10}.\]

Отсюда \(y=30\).

5. Нахождение первого рабочего.

Подставляем \(y=30\) в первое уравнение и получаем \(x=15\).