Вернуться к содержанию учебника
Последовательность \((a_n)\) — арифметическая прогрессия. Известно, что \(a_6 = -6\) и \(a_{16} = 17{,}5\). Найдите сумму первых шестнадцати членов этой прогрессии.
\(a_6 = -6\) и \(a_{16} = 17{,}5\)
\( \begin{cases} a_6=a_1+5d \\ a_{16}=a_1+15d \end{cases} \)
\( \begin{cases} -6=a_1+5d \color{red}{|\times(-1)}\\ 17,5=a_1+15d \end{cases} \)
+\( \begin{cases} 6=-a_1-5d \\ 17,5=a_1+15d \end{cases} \)
\(23,5=10d\)
\(d=23,5:10\)
\(d=2,35\)
\(17,5=a_1+15\cdot2,35\)
| × | 2 | 3 | 5 | |
| 1 | 5 | |||
| + | 1 | 1 | 7 | 5 |
| 2 | 3 | 5 | ||
| 3 | 5 | 2 | 5 |
\(a_1=17,5-35,25\)
\(a_1=-17,75.\)
\(S_{16} = \dfrac{a_1 + a_{16}}{2}\cdot16=\)
\(=\dfrac{-17,75 +17,5}{2}\cdot16=\)
\(= 8(-17{,}75 + 17{,}5) = -2.\)
Ответ: \(S_{16}=-2.\)
Пояснения:
Основные формулы арифметической прогрессии:
1. Формула \(n\)-го члена:
\(a_n = a_1 + (n - 1)d\)
2. Формула суммы первых \(n\) членов:
\(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}n\)
Сначала мы составили выражения для нахождения 6-го и 16-го членов арифметической прогрессии, и объединили их в систему линейных уравнений с двумя переменными, решив которую, мы получили, что \(d=2,35\), \(a_1=-17,75.\)
Для вычисления суммы удобно использовать формулу \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}n\), поскольку нам уже известны первый и шестнадцатый члены.
В результате получили:
\(S_{16} = -2\).
Вернуться к содержанию учебника