Вернуться к содержанию учебника
Последовательность \((x_n)\) — геометрическая прогрессия. Найдите:
а) \(x_1\), если \(x_8 = -128\) и \(q = -4\);
б) \(q\), если \(x_1 = 162\) и \(x_9 = 2\).
а)\(x_8 = -128\) и \(q = -4\)
\(x_8 = x_1 \cdot q^{7}\)
\(x_1=\frac{x_8}{q^7}=\frac{-128}{(-4)^7}=\)
\(=\dfrac{-128}{-16384}=\frac{1}{128}.\)
Ответ: \( x_1 = \dfrac{1}{128}.\)
б) \(x_1 = 162\) и \(x_9 = 2\)
\(x_9 = x_1 \cdot q^{8}\)
\(q^8=\frac{x_9}{x_1}=\frac{2}{162}=\frac{1}{81}\)
\( (q^{2})^4 = \bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)^4\)
\(q^{2} =\dfrac{1}{3}⇒q = \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}.\)
Ответ: \(q = \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}.\)
Пояснения:
Пояснения:
Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.
Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии имеет вид:
\[ b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}. \]
В пункте а) использовали формулу восьмого члена. Показатель степени равен \(8-1=7\). После подстановки вычислили степень числа \(-4\) и нашли первый член.
В пункте б) выразили восьмую степень знаменателя прогрессии. Так как \( \dfrac{1}{81} = \dfrac{1}{3^4} \), то при извлечении корня восьмой степени получаем два возможных значения (положительное и отрицательное), поскольку степень чётная.
Вернуться к содержанию учебника