Упражнение 792 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 202

\(b_5=1\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}\) и \(q=-\frac{1}{2}.\)

\(b_5 = b_1 \cdot q^{4}\)

\(b_1=\frac{b_5}{q^4} =\frac{3}{2}:\bigg(-\frac{1}{2}\bigg)^4=\)

\(=\dfrac{3}{2} \cdot 16= 24.\)

\( S_5 =\dfrac{b_1\cdot( q^{5}-1)}{ q-1}=\)

\(=\dfrac{24\cdot\bigg((-\frac{1}{2})^{5}-1\bigg)}{ -\frac{1}{2}-1}=\)

\(=\dfrac{24\cdot\bigg(-\frac{33}{32}\bigg)}{ -\frac{3}{2}}=\)

\(= 24 \cdot \dfrac{33}{32}\cdot\dfrac{2}{3}=\)

\( = \dfrac{\cancel{24}^{\color{green}{3}} \cdot \cancel{33}^{\color{red}11} \cdot \cancel{2}^{\color{blue}{1}}}{\cancel{32}_{\color{green}{\cancel{4}_{\color{blue}{2}}}} \cdot \cancel{3}_{\color{red}{1}}}=\frac{33}{2}=16,5.\)

Ответ: \(S_5 = 16{,}5.\)

Пояснения:

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.

Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии:

\[ b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}. \]

Чтобы найти первый член прогрессии, нужно выразить \(b_1\) из этой формулы:

\( b_1 = \dfrac{b_n}{q^{\,n-1}}. \)

Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии при \(q \ne 1\) вычисляется по формуле:

\(S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}\)

Сначала выразили первый член через шестой и знаменатель прогрессии. Подставили известные значения и нашли первый член.

Затем применили формулу суммы геометрической прогрессии.