Вернуться к содержанию учебника
В арифметической прогрессии \((a_n)\) сумма пятого и десятого членов равна \(-9\), а сумма четвёртого и шестого членов равна \(-4\). Найдите сумму первых десяти членов этой прогрессии.
\( \begin{cases} a_5+a_{10}=-9; \\ a_4+a_6=-4 \end{cases} \)
\( \begin{cases} a_1 + 4d+a_1 + 9d=-9; \\ a_1 + 3d+a_1 + 5d=-4 \end{cases} \)
\( \begin{cases} 2a_1 + 13d = -9; \color{red}{|\times(-1)} \\ 2a_1 + 8d = -4 \end{cases} \)
+\( \begin{cases} -2a_1 - 13d = 9; \\ 2a_1 + 8d = -4 \end{cases} \)
\( \begin{cases} - 5d = 5; \\ 2a_1 + 8d = -4 \end{cases} \)
\( \begin{cases} d = 5:(-5); \\ 2a_1= -4-8d \end{cases} \)
\( \begin{cases} d = -1; \\ a_1= (-4-8\cdot(-1)):2 \end{cases} \)
\( \begin{cases} d = -1; \\ a_1=2. \end{cases} \)
\(S_{10} = \dfrac{2a_1 + (10 - 1)d}{2}\cdot10=\)
\(=\dfrac{2\cdot2 + 9\cdot(-1)}{2}\cdot10=\)
\(= 5(4 - 9)= 5\cdot(-5)= -25.\)
Ответ: \(S_{10}=-25.\)
Пояснения:
Основные формулы арифметической прогрессии:
1. Формула n-го члена:
\(a_n = a_1 + (n - 1)d\)
2. Формула суммы первых n членов:
\(S_n = \dfrac{2a_1 + (n - 1)d}{2}n\)
Сначала выразили нужные члены через \(a_1\) и \(d\). Из условий получили два линейных уравнения. Умножив первое уравнение на \((-1)\) и сложив уравнения, удобно исключить \(a_1\) и найти разность \(d.\)
После нахождения \(d\) подставили его во второе уравнение и нашли \(a_1\).
Затем применили формулу суммы первых десяти членов арифметической прогрессии.
Вернуться к содержанию учебника