Упражнение 793 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 202

\(b_3 = 20\); \(b_5 = 80\).

\(|b_4|=\sqrt{b_3\cdot b_5}=\sqrt{20\cdot80}=\)

\(=\sqrt{1600}=40\), т.к. все члены прогрессии положительны, то \(b_4=40.\)

\(q=\frac{b_4}{b_3}=\frac{40}{20}=2.\)

\(b_1 = \dfrac{b_3}{q^2} = \dfrac{20}{4} = 5\).

\(\small S_7 = \dfrac{b_1 \cdot ( q^{7}-1)}{q-1}=\dfrac{5\cdot ( 2^{7}-1)}{2-1}=\)

\(\small = \dfrac{5 \cdot (128-1)}{1}= 5 \cdot 127=635.\)

Ответ: \(S_7=635.\)

Пояснения:

1. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии. Справедливо, что:

\(b_{n+1}=b_{n}q\), откуда, \(q=\frac{b_{n+1}}{b_n}.\)

2. Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии:

\[ b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}. \]

3. Свойство геометрической прогрессии:

Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего ее членов.

\(b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1},\) следовательно,  \(|b_n|=\sqrt{b_{n-1}\cdot b_{n+1}}.\)

4. Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии при \(q \ne 1\) вычисляется по формуле:

\(S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}\)