Упражнение 795 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 202

\(q>0\), \(b_1 \cdot b_2 = \dfrac{1}{27}\), \(b_3 \cdot b_4 = 3\).

1) \( \begin{cases} b_1 \cdot b_2 = \dfrac{1}{27}, \\ b_3 \cdot b_4 = 3  \end{cases} \)

\( \begin{cases} b_1 \cdot b_1 q = \dfrac{1}{27}, \\b_1 q^{2} \cdot b_1 q^{3} = 3  \end{cases} \)

\( \begin{cases}b_1^{2} q = \dfrac{1}{27}, \\b_1^{2} q^{5} = 3  \end{cases} \)

\(\dfrac{b_1^{2} q^{5}}{b_1^{2} q} = \dfrac{3}{\frac{1}{27}}\)

\(q^{4} = 81\)

\(q = \pm3,\) т.к. по условию \(q>0,\) то \(q =3.\)

2) \(b_1^{2} \cdot 3 = \dfrac{1}{27}\)

\(b_1^{2} = \dfrac{1}{81}\)

\(b_1 =\pm \dfrac{1}{9}.\)

Т.к. \(q>0\), \(b_1 \cdot b_2 = \dfrac{1}{27}>0\), \(b_3 \cdot b_4 = 3>0\), то все члены положительны, \(⇒\)\(b_1 =\dfrac{1}{9}.\)

3) \(S_4 = \dfrac{b_1 \cdot (q^{4}-1)}{ q-1}\)

\(= \dfrac{\dfrac{1}{9} \cdot(3^{4}-1)}{3-1}=\)

\(= \dfrac{\dfrac{1}{9} \cdot(81-1)}{2}=\)

\( = \dfrac{1}{9} \cdot 40= \dfrac{40}{9}=4 \dfrac{4}{9}.\)

Ответ: \(S_4 =4 \dfrac{4}{9}.\)

Пояснения:

Основные формулы геометрической прогрессии:

1. Формула \(n\)-го члена:

\(b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}\)

2. Формула суммы первых \(n\) членов:

\(S_n = \dfrac{b_1 \cdot (q^{n}-1)}{q-1}\)

Сначала выразили произведения через первый член и знаменатель прогрессии.

При делении уравнений сократились одинаковые множители \(b_1^{2}\), а степени при делении вычитаются:

\(q^{5} : q = q^{4}.\)

Так как знаменатель положительный, выбираем положительный корень: \(q = 3\).

После нахождения \(q\) определили первый член, а затем применили формулу суммы.

Ответ: \(S_4 = 4\dfrac{4}{9}\).