Упражнение 781 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 201

Пусть первый рабочий выполняет всю работу за \(x\) дней (\(x > 0\)), второй — за \(y\) дней (\(y > 0\)). За один день вместе они выполнят:

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2}\).

Первый за 2 дня выполнит \(\dfrac{2}{x}\) всей работы, тогда

\(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{5}{6}\).

Составим систему уравнений:

\(\begin{cases} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2} \\[8pt] \dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{5}{6} \end{cases}\)   \((-)\)

1) \(\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)-\left(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}\right)=\dfrac{1}{2} ^{\color{blue}{\backslash3}} -\dfrac{5}{6}\)

\(\dfrac{1}{x}+\cancel{\dfrac{1}{y}}-\dfrac{2}{x}-\cancel{\dfrac{1}{y}}=\dfrac{3}{6}-\dfrac{5}{6}\)

\(-\dfrac{1}{x}=-\dfrac{2}{6}\)

\(\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{3}\)

\(x = 3\)

2) \(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2}\)

\(\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2} ^{\color{blue}{\backslash3}} -\dfrac{1}{3} ^{\color{blue}{\backslash2}} \)

\(\dfrac{1}{y}=\dfrac{3}{6}-\dfrac{2}{6}\)

\(\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{6}\)

\(y=6\)

Ответ: первый — \(3\) дня, второй — \(6\) дней.

Пояснения:

1. Производительность.

Если рабочий выполняет всю работу за \(x\) дней, то за 1 день он делает \(\dfrac{1}{x}\) работы.

2. Условие о совместной работе.

За 2 дня вместе сделана вся работа, значит за 1 день вместе они делают \(\dfrac{1}{2}\) работы:

\[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}.\]

3. Второе условие.

Если первый работает 2 дня, а второй 1 день, то выполнено \(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}\) работы, и это равно \(\dfrac{5}{6}\):

\[\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{6}.\]

4. Как найти \(x\).

Вычитанием первого уравнения из второго исключаем \(\dfrac{1}{y}\) и получаем \(\dfrac{1}{x}\), после чего находим \(x=3\).

5. Как найти \(y\).

Подставляем \(x=3\) в первое уравнение и находим \(y=6\).