Упражнение 778 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 201

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны \(x\) см и \(y\) см (\(x > 0\) и \(y > 0\)). Его гипотенуза \(41\) см, а площадь \(180\) см².

Составим систему уравнений:

\(\begin{cases} x^2+y^2=41^2\\[4pt] \dfrac{xy}{2}=180 /\times2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x^2+y^2=1681\\[4pt] xy=360 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (x^2 +2xy+y^2)-2xy=1681\\[4pt] xy=360 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (x+y)^2-2\cdot360=1681\\[4pt] xy=360 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (x+y)^2-720=1681\\[4pt] xy=360 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (x+y)^2=1681 + 720\\[4pt] xy=360 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (x+y)^2=2401\\[4pt] xy=360 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x+y=\pm\sqrt{2401}\\[4pt] xy=360 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x+y=\pm49\\[4pt] xy=360 \end{cases}\)

\(x + y = -49\) - не удовлетворяет условию.

\(\begin{cases} x+y=49\\[4pt] xy=360 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y=49-x\\[4pt] x(49-x)=360 \end{cases}\)

\(x(49-x)=360\)

\(49x-x^2=360\)

\(x^2 - 49x+360 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -49\),  \(c = 360\)

\(D = b^2 - 4ac= \)

\(=(-49)^2 - 4\cdot1\cdot360 =\)

\(=2401 - 1440 = 961 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt{961} = 31\)

\(x_1 = \frac{49 + 31}{2\cdot1} = \frac{80}{2} = 40\).

\(x_2 = \frac{49 - 31}{2\cdot1} = \frac{18}{2} = 9\).

Если \(x = 40\), то

\(y = 49 - 40 = 9\).

Если \(x = 9\), то

\(y = 49 - 9 = 40\).

Ответ: катеты треугольника равны \(40\) см и \(9\) см.

Пояснения:

1. Формула площади прямоугольного треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

\[S=\frac{xy}{2},\]

\(x\) и \(y\) - катеты.

По условию \(S=180\), значит \(xy=360\).

2. Теорема Пифагора.

Для прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:

\[x^2+y^2=c^2.\]

Так как гипотенуза \(c=41\), получаем \(x^2+y^2=1681\).

3. Из полученных уравнений составляем систему:

\(\begin{cases} x^2+y^2=1681\\[4pt] xy=360 \end{cases}\).

4. Использование формулы квадрата суммы.

\[(x+y)^2=x^2+2xy+y^2.\]

5. Находим сумму катетов: \(x+y=49\) и далее решаем систему методом подстановки. Из одного уравнения выражаем переменную \(y\), подставляем в другое уравнение, находим \(x\), затем находим \(y\).