Упражнение 774 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 200

\(\begin{cases}y=x^2-x+4,\\ y=\dfrac4x\end{cases}\)

\(\begin{cases}y=x^2-x+4,\\ x^2-x+4=\dfrac4x\end{cases}\)

\(x^2-x+4=\dfrac{4}{x}\)  \(/\times x\)

ОДЗ: \(x\neq 0\)

\(x^3-x^2+4x-4=0\)

\(x^2(x-1)+4(x-1)=0\)

\((x-1)(x^2+4)=0\)

\(x-1=0 \Rightarrow x=1\)

или \(x^2+4=0\)

\(x^2=-4\) - действительных решений нет.

Если \(x = 1\), то

\(y=\frac41=1\)

\((1;4)\) - точка пересечения графиков.

1) \(y=x^2-x+4\)

\(y = (x^2 - x + 0,5^2) - 0,5^2 + 4\)

\(y = (x - 0,5)^2 + 3,75\) -парабола, ветви вверх, вершина в точке \((0,5; 3,75)\).

2) \( y=\dfrac4x\) - гипербола, I и III четверть.

Пояснения:

Используемые правила и приёмы:

1) Точки пересечения графиков находятся как решения системы

\(\begin{cases}y=x^2-x+4,\\ y=\dfrac{4}{x}.\end{cases}\)

То есть нужно приравнять правые части (в точке пересечения значения \(y\) одинаковые).

2) При наличии дроби \(\dfrac{4}{x}\) важно учитывать ограничение \(x\neq 0\). Чтобы убрать дробь, умножаем обе части уравнения на \(x\).

3) После умножения получаем кубическое уравнение. Его удобно разложить на множители группировкой:

\(x^3-x^2+4x-4=\)

\(=x^2(x-1)+4(x-1)=\)

\(=(x-1)(x^2+4).\)

4) Равенство произведения нулю означает, что хотя бы один множитель равен нулю:

\((x-1)(x^2+4)=0 \Rightarrow\)

\(x=1 \text{ или } x^2=-4.\)

Уравнение \(x^2=-4\) не имеет действительных решений, поэтому остаётся только \(x=1\).

5) Находим соответствующее значение \(y\), подставляя \(x=1\) в любое из уравнений:

\(y=\frac41=1\)

Графическая иллюстрация смысла результата:

Гипербола \(y=\dfrac{4}{x}\) имеет две ветви и не определена при \(x=0\). Парабола \(y=x^2-x+4\) направлена вверх. Полученное уравнение показало, что в действительной плоскости они имеют ровно одну общую точку \((1;4)\), то есть графики пересекаются только в этой точке.