Упражнение 770 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 199

а) \(\begin{cases}x^2+y+8=xy,\\ y-2x=0\end{cases}\)

\(\begin{cases}x^2+2x+8=x\cdot2x,\\ y=2x\end{cases}\)

\(x^2+2x+8=x\cdot2x\)

\(x^2+2x+8=2x^2\)

\(x^2+2x+8-2x^2=0\)

\(-x^2+2x+8=0\)   \(/\times(-1)\)

\(x^2-2x-8=0\)

\(a = 1\),  \(b = -2\),  \(c = 8\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-8) =\)

\(=4 + 32 = 36 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt{36} = 6\)

\(x_{1}=\frac{2 + 6}{2\cdot1}=\frac{8}{2} = 4\)

\(x_{2}=\frac{2 - 6}{2\cdot1}=\frac{-4}{2} = -2\)

Если \(x = 4\), то

\(y = 2\cdot4 = 8\).

Если \(x = -2\), то

\(y = 2\cdot(-2) = -4\).

Ответ: \((4;8),\;(-2;-4)\)

б) \(\begin{cases}x^2-y^2=16,\\ x+y=8\end{cases}\)

\(\begin{cases}x^2-(8-x)^2=16,\\ y=8-x\end{cases}\)

\(x^2-(8-x)^2=16\)

\(x^2 - (64 - 16x + x^2) = 16\)

\(\cancel{x^2} - 64 + 16x - \cancel{x^2} = 16\)

\(-64 + 16x = 16\)

\(16x = 16 + 64\)

\(16x = 80\)

\(x = \frac{80}{16}\)

\(x = 5\)

\(y = 8 - 5 = 3\)

Ответ: \((5;3)\).

в) \(\begin{cases}x+y=5,\\ x^2-xy+y^2=13\end{cases}\)

\(\begin{cases}y=5-x,\\ x^2-x(5-x)+(5-x)^2=13\end{cases}\)

\(x^2-x(5-x)+(5-x)^2=13\)

\(x^2 - 5x + x^2 + 25 - 10x + x^2 - 13 = 0\)

\(3x^2 - 15x + 12 = 0\)    \(/ : 3\)

\(x^2 - 5x + 4 = 0\) 

\(a = 1\),  \(b = -5\),  \(c = 4\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-5)^2 - 4\cdot1\cdot4 =\)

\(=25 - 16 = 9 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt{9} = 3\)

\(x_{1}=\frac{5 + 3}{2\cdot1}=\frac{8}{2} = 4\)

\(x_{2}=\frac{5 - 3}{2\cdot1}=\frac{2}{2} = 1\)

Если \(x = 4\), то

\(y = 5 - 4 = 1\).

Если \(x = 1\), то

\(y = 5 - 1 = 4\).

Ответ: \((4;1),\;(1;4)\).

г) \(\begin{cases}x^2+y^2+3xy=1,\\ 3y+x=0\end{cases}\)

\(\begin{cases}(-3y)^2+y^2+3\cdot(-3y)y=1,\\ x=-3y\end{cases}\)

\(\cancel{9y^2}+y^2-\cancel{9y^2}=1\)

\(y^2=1\)

\(y = \pm \sqrt1\)

\(y_1=1,\;y_2=-1\)

Если \(y = 1\), то

\(x=-3\cdot1 = -3\).

Если \(y = -1\), то

\(x=-3\cdot(-1) = 3\).

Ответ: \((-3;1),\;(3;-1)\).

д) \(\begin{cases}2x^2+5x-3y=-12,\\ 2y-7x=8\end{cases}\)

\(\begin{cases}2x^2+5x-3y=-12,\\ 2y=8+7x   / : 2\end{cases}\)

\(\begin{cases}2x^2+5x-3(4+3,5x)=-12,\\ y=4+3,5x\end{cases}\)

\(2x^2+5x-3(4+3,5x)=-12\)

\(2x^2 + 5x - 12 - 10,5x + 12 = 0\)

\(2x^2 - 5,5x  = 0\)

\(x(2x - 5,5) = 0\)

\(x = 0\)  или  \(2x - 5,5 = 0\)

                     \(2x = 5,5\)

                     \(x = \frac{5,5}{2}\)

                     \(x = 2,75\)

Если \(x = 0\), то

\( y=4+3,5\cdot0= 4 \).

Если \(x = 2,75\), то

\( y=4+3,5\cdot2,75= 4 + 9,625=\)

\(=13,625\).

Ответ: \((0; 4)\),  \((2,75; 13,625)\).

е) \(\begin{cases}y^2-6x+y=0,\\ 2x-\dfrac12 y=1     /\times 2\end{cases}\)

\(\begin{cases}y^2-6x+y=0,\\ 4x-y=2\end{cases}\)

\(\begin{cases}(4x - 2)^2-6x+(4x - 2)=0,\\ y=4x-2\end{cases}\)

\((4x - 2)^2-6x+(4x - 2)=0\)

\(16x^2 - 16x + 4 - 6x + 4x - 2 = 0\)

\(16x^2 -18x + 2 = 0\)   \(/ : 2\)

\(8x^2 - 9x + 1 = 0\)

\(a = 8\),  \(b = -9\),  \(c = 1\)

\(D  = b^2 - 4ac =\)

\(=(-9)^2 - 4\cdot8\cdot1 =\)

\(=81- 32 = 49 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt{49} = 7\)

\(x_{1}=\frac{9 + 7}{2\cdot8}=\frac{16}{16} = 1\)

\(x_{2}=\frac{9 - 7}{2\cdot8}=\frac{2}{16} = \frac{1}{8}\)

Если \(x = 1\), то

\(y=4\cdot1-2 = 4-2 = 2\).

Если \(x = \frac{1}{8}\), то

\(y=4\cdot\frac{1}{8}-2 = \frac{1}{2}-2 = -1\frac{1}{2}\)

Ответ: \((1;2),\;\left(\dfrac18;-1\dfrac12\right)\).

---

Пояснения:

Правила и приёмы, которые используются:

1) Способ подстановки: из одного уравнения выражают одну переменную и подставляют в другое уравнение. Тогда система сводится к одному уравнению с одной переменной.

2) После нахождения первой переменной вторую находят подстановкой обратно в выражение.

3) Для решения квадратного уравнения

\(ax^2+bx+c=0\)

используют дискриминант:

\(D=b^2-4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}.\)