Упражнение 775 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 200

\(\begin{cases} x+3y=2,\\ xy=a \end{cases}\)

\(\begin{cases} x=2-3y,\\ (2-3y)y=a \end{cases}\)

\((2-3y)y=a\)

\(2y-3y^2=a\)

\(3y^2-2y+a=0\)

\(D=(-2)^2-4\cdot3\cdot a=4-12a\)

Уравнение имеет ндинственное решение при \(D=0\):

\(4-12a=0\)

\(12a=4\)

\(a = \frac{4}{12}\)

\(a=\dfrac{1}{3}\)

Ответ: при \(a=\dfrac{1}{3}\).

Пояснения:

1. Метод решения.

Используем способ подстановки: из линейного уравнения выражаем одну переменную и подставляем во второе уравнение.

2. Получение квадратного уравнения.

После подстановки \(x=2-3y\) в условие \(xy=a\) получаем квадратное уравнение:

\[3y^2-2y+a=0.\]

3. Условие единственного решения.

Система будет иметь единственное решение тогда и только тогда, когда квадратное уравнение имеет один корень. Это происходит при нулевом дискриминанте:

\[D=b^2-4ac.\]

В нашем случае:

\[D=4-12a.\]

Приравниваем к нулю и находим \(a\).

4. Вывод.

Система имеет единственное решение только при

\[a=\dfrac{1}{3}.\]