Вернуться к содержанию учебника
Если от числителя и знаменателя обыкновенной дроби отнять по единице, то дробь уменьшится на \(\dfrac{1}{10}\). Если же к числителю и знаменателю прибавить по единице, то дробь увеличится на \(\dfrac{1}{15}\). Найдите эту дробь.
Вспомните:
Пусть дробь равна \(\dfrac{x}{y}\). Тогда новые дроби: \(\dfrac{x-1}{y-1}\) и \(\dfrac{x+1}{y+1}\).
Составим систему уравнений:
\(\begin{cases} \dfrac{x}{y}-\dfrac{x-1}{y-1}=\dfrac{1}{10}, /\times10y(y-1)\\[6pt] \dfrac{x+1}{y+1}-\dfrac{x}{y}=\dfrac{1}{15} /\times15y(y+1) \end{cases}\)
ОДЗ: \(y\ne0\), \(y \ne1\), \(y\ne-1\).
\(\begin{cases} 10x(y-1) - 10y(x-1) = y(y-1) \\[2pt] 15y(x+1) -15x(y+1)= y(y+1) \end{cases}\)
\(\begin{cases} \cancel{10xy}-10x - \cancel{10xy}+10y = y^2-y \\[2pt] \cancel{15xy}+15y -\cancel{15xy}-15x= y^2 + y \end{cases}\)
\(\begin{cases} -10x +10y = y^2-y \\[2pt] 15y -15x= y^2 + y \end{cases}\)
\(\begin{cases} -10x = y^2-y - 10y \\[2pt] -15x= y^2 + y -15y \end{cases}\)
\(\begin{cases} -10x = y^2-11y / :(-10) \\[2pt] -15x= y^2 -14y / : (-15) \end{cases}\)
\(\begin{cases} x = \dfrac{-y^2+11y}{10} \\[6pt] x= \dfrac{-y^2 +14y}{15} \end{cases}\)
\(\dfrac{-y^2+11y}{10}=\dfrac{-y^2+14y}{15}\)
\(15(-y^2+11y)=10(-y^2+14y)\)
\(-15y^2+165y=-10y^2+140y\)
\(-15y^2+165y+10y^2-140y = 0\)
\(-5y^2+25y=0\)
\(-5y(y-5)=0\)
\(y=0\) или \(y - 5 = 0\)
\(y = 5\)
\(y = 0\) - не удовлетворяет ОДЗ.
Если \(y = 5\), то
\(x = \dfrac{-5^2+11\cdot5}{10} =\dfrac{-25+55}{10} =\)
\(=\dfrac{30}{10} = 3\)
Искомая дробь: \(\dfrac{3}{5}\).
Ответ: \(\dfrac{3}{5}\).
Пояснения:
1. Обозначение дроби.
Пусть исходная дробь равна \(\dfrac{x}{y}\), где \(y\neq0\).
2. Первое условие.
Если отнять по 1, получим \(\dfrac{x-1}{y-1}\), которая меньше исходной на \(\dfrac{1}{10}\).
\(\dfrac{x}{y}-\dfrac{x-1}{y-1}=\dfrac{1}{10}\).
После приведения к общему знаменателю получаем уравнение:
\[10x=-y^2+11y.\]
3. Второе условие.
Если прибавить по 1, получим \(\dfrac{x+1}{y+1}\), которая больше исходной на \(\dfrac{1}{15}\).
\(\dfrac{x+1}{y+1}-\dfrac{x}{y}=\dfrac{1}{15}\).
После приведения к общему знаменателю получаем уравнение:
\[15x=-y^2+14y.\]
4. Решение системы.
Решаем систему способом подстановки. Приравниваем два выражения для \(x\) и решаем уравнение относительно \(y\). Получаем \(y=5\). Затем находим \(x=3\).
Исходная дробь равна \(\frac{3}{5}.\)
Вернуться к содержанию учебника