Упражнение 404 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 96

а) \(\sqrt{2\sqrt{17}-4}\) - имеет смысл.

\(2\sqrt{17}-4 =\sqrt{2^2\cdot17}-\sqrt{16}= \)

\(=\sqrt{4\cdot17}-\sqrt{16} = \sqrt{68}-\sqrt{16} > 0\)

б) \(\sqrt{9-\sqrt{80}}\) - имеет смысл.

\(9-\sqrt{80} =\sqrt{81} - \sqrt{80} > 0 \).

в) \(\sqrt{8\sqrt{3}-14}\) - не имеет смысла.

\(8\sqrt{3}-14 = \sqrt{8^2\cdot 3} - \sqrt{196}=\)

\(=\sqrt{64\cdot 3} - \sqrt{196} = \)

\(=\sqrt{192} - \sqrt{196} < 0\).

г) \(\sqrt{15-2\sqrt{56}}\) - имеет смысл.

\(15-2\sqrt{56} = \sqrt{225} - \sqrt{2^2\cdot56}=\)

\(=\sqrt{225} - \sqrt{4\cdot56}=\)

\(=\sqrt{225}-\sqrt{224}>0\).

д) \(\sqrt{\sqrt{11}-3\sqrt{2}}\) - не имеет смысла.

\(\sqrt{11}-3\sqrt{2}=\sqrt{11} - \sqrt{3^2\cdot2}=\)

\(=\sqrt{11} - \sqrt{9\cdot2}=\sqrt{11} - \sqrt{18} < 0\).

е) \(\sqrt{2\sqrt{2}-\sqrt{7}}\) - имеет смысл.

\(2\sqrt{2}-\sqrt{7} = \sqrt{2^2 \cdot 2} - \sqrt{7}=\)

\(=\sqrt{4\cdot2} - \sqrt{7} = \sqrt{8}-\sqrt{7}>0\).

ж) \(\sqrt{6\sqrt{3}-7\sqrt{2}}\) - имеет смысл.

\(6\sqrt{3}-7\sqrt{2} =\sqrt{6^2\cdot3} - \sqrt{7^2\cdot2}= \)

\(=\sqrt{36\cdot3} - \sqrt{49\cdot2} =\)

\(=\sqrt{208} - \sqrt{98}>0\).

з) \(\sqrt{ \sqrt{186}-5\sqrt{13}}\) - не имеет смысла.

\(\sqrt{186}-5\sqrt{13} =\sqrt{186} - \sqrt{5^2 \cdot 13}=\)

\(=\sqrt{186} - \sqrt{25\cdot13}=\)

\(=\sqrt{186} - \sqrt{325}<0\).

и) \(\sqrt{ -\sqrt{186}+5\sqrt{7}}\) - не имеет смысла.

\(-\sqrt{186}+5\sqrt{7}= 5\sqrt{7} - \sqrt{186}=\)

\(=\sqrt{5^2\cdot7} - \sqrt{186} =\)

\(=\sqrt{25\cdot7} - \sqrt{186}=\)

\(=\sqrt{175} - \sqrt{186}<0\).

к) \(\sqrt{ \sqrt{56}-4\sqrt{2}}\) - имеет смысл.

\(\sqrt{56}-4\sqrt{2} = \sqrt{56} - \sqrt{4^2\cdot2}=\)

\(=\sqrt{56} - \sqrt{16\cdot2} = \sqrt{56} - \sqrt{32} > 0\)

л) \(\sqrt{ \sqrt{ 42}-6\sqrt{5}}\) - не имеет смысла.

\(\sqrt{42}-6\sqrt{5} = \sqrt{42}-\sqrt{6^2\cdot5}=\)

\(=\sqrt{ 42}-\sqrt{36\cdot5}= \)

\(=\sqrt{ 42}-\sqrt{180}<0\).

м) \(\sqrt{ \sqrt{72}-6\sqrt{2}}\) - имеет смысл.

\(\sqrt{72}-6\sqrt{2} = \sqrt{72}-\sqrt{6^2\cdot2}=\)

\(\sqrt{72}-\sqrt{36\cdot2}= \sqrt{72}-\sqrt{72}=0\).

Пояснения:

Использованные приемы:

- Выражение \(\sqrt x\) имеет смысл только тогда, когда \(x\geqslant0\).

- Сравнение корней:

\(\sqrt x \geqslant \sqrt y\), только в том случае, когда \(x \geqslant y\).

- Чтобы внести числовой множитель \(k\) под знак корня, каждый внешний числовой множитель \(k\) возводят в квадрат и умножают на подкоренное выражение:

\( k\sqrt{A} = \sqrt{k^2\cdot A}. \)

а) \( \sqrt{2304} = \sqrt{2^8 \cdot 3^2} =\)

\(=\sqrt{(2^4)^2}\cdot \sqrt{3^2} = |2^4|\cdot|3| =\)

\(=16\cdot3 = 48. \)

б) \( \sqrt{18225} = \sqrt{3^6\cdot5^2} =\)

\(= \sqrt{(3^3)^2}\cdot \sqrt{5^2} = |3^3|\cdot|5| = \)

\(=27\cdot5 = 135. \)

в) \( \sqrt{254016} = \sqrt{2^6\cdot3^4\cdot7^2} =\)

\(=\sqrt{(2^3)^2}\cdot\sqrt{(3^2)^2}\cdot\sqrt{7^2} =\)

\(=|2^3|\cdot|3^2|\cdot|7| = 8\cdot9\cdot7 = 504. \)

Пояснения:

– Свойство корня из степени:

\( \sqrt{(x^n)^2} = |x^n|.\)

– Свойство корня из произведения:

\(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\).

– Свойство степени:

\((a^m)^n = a^{mn}\).

– Определение модуля:

\(|a| = a\), при \(a \ge 0\);

\(|a| = -a\), при \(a \le 0\).

– В каждом случае разложили число на простые множители, сгруппировали их в чётные степени и вынесли из-под корня.

– Конечный результат получен перемножением вынесенных из-под корня простых степеней.