Упражнение 1264 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 280

\(x_1\) и \(x_2\) корни уравнения

\(n x^2 - 5x + 1 = 0\)

\(x_1^{-2} + x_2^{-2} = 13\)

\(n - ?\)

По теореме Виета:

\( x_1 + x_2 = \frac{5}{n}, \quad x_1 x_2 = \frac{1}{n} \)

\( x_1^{-2} + x_2^{-2} = 13\)

\(\frac{1}{ x_1^{2}} ^{\color{blue}{\backslash x_2^{2}}} + \frac{1}{ x_2^{2}} ^{\color{blue}{\backslash x_1^{2}}} =13\)

\(\frac{x_2^2 + x_1^2}{(x_1 x_2)^2}=13 \)

\(\frac{(x_2^2 +2x_1x_2+ x_1^2) - 2x_1x_2}{(x_1 x_2)^2}=13\)

\(\frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{(x_1 x_2)^2}=13 \)

\(\frac{(\frac{5}{n})^2 - 2\cdot\frac{1}{n}}{(\frac{1}{n})^2}=13 \)

\(\frac{\frac{25}{n^2} - \frac{2}{n} ^{\color{blue}{\backslash n}} }{\frac{1}{n^2}}=13 \)      \(/\times\frac{1}{n^2}\)

\(\frac{25}{n^2} - \frac{2n}{n^2}=13\cdot\frac{1}{n^2}\)

\(\frac{25-2n}{n^2} =\frac{13}{n^2}\)        \(/\times n^2\)

\(25 - 2n = 13\)

\(-2n = 13 - 25\)

\(-2n = -12\)

\(n = \frac{-12}{-2}\)

\(n = 6\)

Ответ: \(n = 6.\)

Пояснения:

В решении использовали:

- Теорему Виета: \[\; x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \; x_1 x_2 = \frac{c}{a}.\]

- Степень с отрицательным показателем: \[a^{-m}=\frac{1}{a^m},\] тогда при обращении степеней имеем: \[ x_1^{-2} + x_2^{-2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1 x_2)^2}. \]

- Квадрат суммы двух выражений: \[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,\] тогда \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2, \] тогда в результате преобразований получим:

\(\frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{(x_1 x_2)^2}=13 \)

После подстановки в полученное выражение

\( x_1 + x_2 = \frac{5}{n}, \quad x_1 x_2 = \frac{1}{n} \)

и упрощения получилось линейное уравнение, из которого нашли, что \(n = 6.\)