Вернуться к содержанию учебника
(Задача-исследование.) По графику функции \(y = ax^{2} + bx + c\) (рис. 36) определите знаки коэффициентов \(a\), \(b\) и \(c\).
1) Объясните, как, пользуясь рисунком, можно определить знаки коэффициентов \(a\) и \(c\). Укажите эти знаки.
2) Обсудите, как, пользуясь рисунком, можно определить знак коэффициента \(b\). Укажите этот знак.
Введите текст
а) Первый график:
Определяем знак \(a\):
Парабола ветвями направлена вниз, значит \[ a < 0. \]
Определяем знак \(c\):
Значение \(c\) — это точка пересечения графика с осью \(Oy\), то есть \(y(0)=c\). На рисунке при \(x=0\) точка лежит ниже оси \(Ox\), значит \[ c < 0. \]
Определяем знак \(b\):
Если вершина параболы расположена правее оси \(Oy\), то \[ x_0 = -\frac{b}{2a} > 0. \] Так как \(a < 0\), то знаменатель отрицательный, а чтобы всё выражение было положительным, числитель должен быть отрицательным:
\[ -b < 0,\quad b > 0. \]
Ответ для графика (а): \(a < 0,\quad b > 0,\quad c < 0.\)
б) Второй график:
Определяем знак \(a\):
Парабола ветвями вверх ⇒ \[ a > 0. \]
Определяем знак \(c\):
При \(x=0\) график пересекает ось \(Oy\) выше оси \(Ox\), значит \[ c > 0. \]
Определяем знак \(b\):
Вершина параболы расположена правее оси \(Oy\), следовательно \[ x_0 = -\frac{b}{2a} > 0. \] Так как \(a > 0\), знаменатель положительный. Чтобы всё выражение было положительным, числитель \[ -b \] должен быть положительным:
\[ -b > 0,\quad b < 0. \]
Ответ для графика (б): \(a > 0,\quad b < 0,\quad c > 0.\)
Пояснения:
1. Знак коэффициента \(a\) определяется направлением ветвей параболы: вверх — \(a>0\), вниз — \(a<0\).
2. Значение \(c\) — точка пересечения графика с осью \(Oy\), то есть \(y(0)=c\). Если эта точка выше оси \(Ox\), то \(c>0\); если ниже — \(c<0\).
3. Знак коэффициента \(b\) определяем по координате вершины: \[ x_0 = -\frac{b}{2a}. \] Если вершина правее оси \(Oy\), то \(x_0>0\), если левее — \(x_0<0\). Отсюда и определяется знак \(b\).
Вернуться к содержанию учебника