Вернуться к содержанию учебника
Решите систему уравнений:
а) \(\begin{cases}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{6},\\ 2x-y=5;\end{cases}\)
б) \(\begin{cases}\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{20},\\ x+2y=14;\end{cases}\)
в) \(\begin{cases}x+y=14,\\ \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=2\dfrac{1}{12};\end{cases}\)
г) \(\begin{cases}x-y=2,\\ \dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}=\dfrac{5}{6}.\end{cases}\)
Вспомните:
а) \(\begin{cases}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{6},\\ 2x-y=5\end{cases}\)
\(\begin{cases}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2x-5}=\dfrac{1}{6},\\ y=2x-5\end{cases}\)
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2x-5}=\dfrac{1}{6}\) \(/\times6x(2x - 5)\)
ОДЗ: \(x \ne 0\) и \(2x - 5 \ne 0\)
\(2x \ne 5\))
\(x \ne \frac52\)
\(x \ne 2,5\)
\(6(2x - 5) + 6x = x(2x - 5)\)
\(12x - 30 + 6x = 2x^2 - 5x\)
\(18x - 30 - 2x^2 + 5x = 0\)
\(-2x^2 + 23x - 30 = 0\) \(/\times (-1)\)
\(2x^2-23x+30=0\)
\(D=(-23)^2-4\cdot2\cdot30=\)
\(=529-240=289 > 0\) - два корня.
\(\sqrt{289} = 17\).
\(x_1=\dfrac{23+17}{2\cdot2} = \dfrac{40}{4}=10\).
\(x_2=\dfrac{23-17}{2\cdot2}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2} = 1,5\).
Если \(x = 10\), то
\(y=2\cdot10-5 = 20 - 5=15\).
Если \(x = 1,5\), то
\(y=2\cdot1,5-5 = 3 - 5=-2\)
Ответ: \((10;\,15),\; (1,5;\,-2)\).
б) \(\begin{cases}\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{20},\\ x+2y=14\end{cases}\)
\(\begin{cases}\dfrac{1}{14-2y}-\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{20},\\ x=14-2y\end{cases}\)
\(\dfrac{1}{14-2y}-\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{20}\) \(/\times20y(14 - 2y)\)
ОДЗ: \(y \ne 0\) и \(14 - 2y \ne 0\)
\(-2y \ne -14\)
\(y \ne \frac{-14}{-2}\)
\(y \ne 7\)
\(20y - 20(14 - 2y) = y(14 - 2y)\)
\(20y - 280 + 40y = 14y - 2y^2\)
\(60y - 280 - 14y + 2y^2=0\)
\(2y^2 + 46y - 280 = 0\) \(/ : 2\)
\(y^2 + 23y - 140 = 0\)
\(D = 23^2 - 4 \cdot1\cdot(-140) =\)
\(=529 + 560 = 1089 > 0\) - два корня.
\(\sqrt{1089} = 33\).
\(y_1=\frac{-23 + 33}{2\cdot1} = \frac{10}{2} = 5\).
\(y_2=\frac{-23 - 33}{2\cdot1} = \frac{-56}{2} = -28\).
Если \(y = 5\), то
\(x = 14 - 2\cdot5 = 14 - 10 = 4\).
Если \(y = -28\), то
\(x = 14 - 2\cdot(-28) = 14 + 56 = 70\).
Ответ: \((4;\,5), (70;\, -28)\).
в) \(\begin{cases}x+y=14,\\ \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=2\dfrac{1}{12}\end{cases}\)
\(\begin{cases}x=14-y,\\ \dfrac{14-y}{y}+\dfrac{y}{14-y}=\dfrac{25}{12}\end{cases}\)
\(\dfrac{14-y}{y}+\dfrac{y}{14-y}=\dfrac{25}{12}\) \(/\times 12y(14 - y)\)
ОДЗ: \(y \ne 0\) и \(14 - y \ne 0\)
\(y \ne 14\)
\(12(14 - y)(14-y) + y\cdot12y = 25y(14 - y)\)
\(12(14-y)^2 + 12y^2 = 350y - 25y^2\)
\(12(196 - 28y + y^2) + 12y^2 = 350y - 25y^2\)
\(2352 - 336y + 12y^2 + 12y^2 - 350y + 25y^2 = 0\)
\(49y^2 -686y + 2352 = 0\) \(/ : 49\)
\(y^2 - 14y + 48 = 0\)
\(D = (-14)^2 - 4\cdot1\cdot48 = \)
\(=196 - 192 = 4 > 0\) - два корня.
\(\sqrt4 = 2\).
\(y_1 = \frac{14 + 2}{2\cdot1} = \frac{16}{2} = 8\).
\(y_2 = \frac{14 - 2}{2\cdot1} = \frac{12}{2} = 6\).
Если \(y = 8\), то
\(x = 14 - 8 = 6\).
Если \(y = 6\), то
\(x = 14 - 6 = 8\).
Ответ: \((8;\,6),\; (6;\,8)\)
г) \(\begin{cases}x-y=2,\\ \dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}=\dfrac{5}{6}\end{cases}\)
\(\begin{cases}x=y + 2,\\ \dfrac{y + 2}{y}-\dfrac{y}{y+2}=\dfrac{5}{6}\end{cases}\)
\( \dfrac{y + 2}{y}-\dfrac{y}{y+2}=\dfrac{5}{6}\) \(/\times6y(y + 2)\)
ОДЗ: \(y = 0\) и \(y + 2 \ne 0\)
\(y \ne -2\)
\((y + 2) \cdot6(y + 2) - y\cdot6y = 5y(y + 2)\)
\(6(y+2)^2 - 6y^2 = 5y^2 + 10y\)
\(6(y^2 + 4y + 4) - 6y^2 - 5y^2 - 10y = 0\)
\(\cancel{6y^2} + 24y + 24 - \cancel{6y^2} - 5y^2 - 10y = 0\)
\(-5y^2 + 14y + 24 = 0\) \(/\times (-1)\)
\(5y^2 - 14y - 24 = 0\)
\(D = (-14)^2 - 4\cdot5\cdot(-24) = \)
\(= 196 + 480 = 676 > 0 \) - два корня.
\(\sqrt{676} = 26\).
\(y_1 = \frac{14 + 26}{2\cdot5} = \frac{40}{10} = 4\).
\(y_2 = \frac{14 - 26}{2\cdot5} = -\frac{12}{10} = -1,2\).
Если \(y= 4\), то
\(x = 4 + 2 = 6\).
Если \(y= -1,2\), то
\(x = -1,2 + 2 = 0,8\).
Ответ: \((6;\,4),\; (0,8;\, -1,2)\).
Пояснения:
Правила и приёмы, которые использовались:
1) Метод подстановки: из линейного уравнения выражаем одну переменную и подставляем в другое уравнение системы.
2) Дробно рациональные уравнения сводим к целым уравнениям, домножив их на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, указав при этом ОДЗ (область допустимых значений переменной), тоесть исключаем те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль.
3) Квадратное уравнение
\(ax^2+bx+c=0\)
решаем через дискриминант:
\(D=b^2-4ac\).
Если \(D > 0 \), то уравнение имеет два корня:
\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}.\)
4) Квадрат разности и квадрат суммы двух выражений:
\((a \pm b)^2 = a^2 \pm2ab + b^2\).
Вернуться к содержанию учебника