Вернуться к содержанию учебника
Решите систему уравнений:
а) \(\begin{cases} (x+y)(x-y)=0,\\ 2x-y=1; \end{cases}\)
б) \(\begin{cases} x^2+y^2=100,\\ (x-7y)(x+7y)=0; \end{cases}\)
в) \(\begin{cases} x^2+y^2=25,\\ (x-3)(y-5)=0; \end{cases}\)
г) \(\begin{cases} x^2-y^2=50,\\ x(y+1)=0. \end{cases}\)
Вспомните:
а) \(\begin{cases} (x+y)(x-y)=0,\\ 2x-y=1 \end{cases}\)
\((x+y)(x-y)=0\)
\(x+y=0\) или \(x-y=0\)
1) \(\begin{cases} x+y=0,\\ 2x-y=1 \end{cases}\) \((+)\)
\((x + 2x) + (y-y) = 0 +1\)
\(3x=1\)
\(x=\dfrac{1}{3}\).
\(y=-\dfrac{1}{3}\).
2) \(\begin{cases} x-y=0 /\times(-1),\\ 2x-y=1 \end{cases}\)
\(\begin{cases} -x+y=0 ,\\ 2x-y=1 \end{cases}\) \((+)\)
\((-x + 2x) + (y - y) = 0 + 1\)
\(x = 1\).
\(y = 1\).
Ответ: \(\left(\dfrac{1}{3};\,-\dfrac{1}{3}\right),\ (1;\,1)\)
б) \(\begin{cases} x^2+y^2=100,\\ (x-7y)(x+7y)=0; \end{cases}\)
\((x-7y)(x+7y)=0\)
\(x-7y=0\) или \(x+7y=0\)
1) \(\begin{cases} x-7y=0,\\x^2+y^2=100 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x=7y,\\(7y)^2+y^2=100 \end{cases}\)
\((7y)^2+y^2=100\)
\(49y^2+y^2=100\)
\(50y^2=100\)
\(y^2 = \frac{100}{50}\)
\(y^2=2\)
\(y=\pm\sqrt{2}\)
Если \(y = \sqrt2\), то
\(x=7\cdot\sqrt{2}=7\sqrt{2}\).
Если \(y = -\sqrt2\), то
\(x=7\cdot(-\sqrt{2})=-7\sqrt{2}\).
2) \(\begin{cases} x+7y=0,\\x^2+y^2=100 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x=-7y,\\(-7y)^2+y^2=100 \end{cases}\)
\((-7y)^2+y^2=100\)
\(49y^2+y^2=100\)
\(50y^2=100\)
\(y^2 = \frac{100}{50}\)
\(y^2=2\)
\(y=\pm\sqrt{2}\)
Если \(y = \sqrt2\), то
\(x=-7\cdot\sqrt{2}=-7\sqrt{2}\).
Если \(y = -\sqrt2\), то
\(x=-7\cdot(-\sqrt{2})=7\sqrt{2}\).
Ответ: \(\left(7\sqrt{2};\,\sqrt{2}\right),\left(-7\sqrt{2};\,-\sqrt{2}\right),\)
\(\left(-7\sqrt{2};\,\sqrt{2}\right),\left(7\sqrt{2};\,-\sqrt{2}\right).\)
в) \(\begin{cases} x^2+y^2=25,\\ (x-3)(y-5)=0; \end{cases}\)
\((x-3)(y-5)=0\)
\(x-3=0\) или \(y-5=0\)
1) \(\begin{cases} x - 3 = 0,\\ x^2+y^2=25 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x = 3 ,\\ 3^2+y^2=25 \end{cases}\)
\(3^2+y^2=25\)
\(9+y^2=25\)
\(y^2=16\)
\(y = \pm\sqrt{16}\)
\(y = \pm4\)
2) \(\begin{cases} y - 5 = 0,\\ x^2+y^2=25 \end{cases}\)
\(\begin{cases} y = 5 ,\\ x^2+5^2=25 \end{cases}\)
\(x^2+5^2=25\)
\(x^2+25=25\)
\(x^2=0\)
\(x=0\)
Ответ: \((3;\,4),\ (3;\,-4),\ (0;\,5)\).
г) \(\begin{cases} x^2-y^2=50,\\ x(y+1)=0. \end{cases}\)
\(x(y+1)=0\)
\(x=0\) или \(y+1=0\)
1) \(\begin{cases} x = 0,\\x^2-y^2=50 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x = 0,\\0^2-y^2=50 \end{cases}\)
\(0^2-y^2=50\)
\(-y^2=50\) \(/\times(-1)\)
\(y^2 = -50\) - решений нет.
2) \(\begin{cases} y + 1 = 0,\\x^2-y^2=50 \end{cases}\)
\(\begin{cases} y = -1,\\x^2-(-1)^2=50 \end{cases}\)\)
\(x^2-(-1)^2=50\)
\(x^2-1=50\)
\(x^2=50 + 1\)
\(x^2=51\)
\(x=\pm\sqrt{51}\)
Ответ: \((\sqrt{51};\,-1),\ (-\sqrt{51};\,-1)\).
Пояснения:
Использованные правила и приёмы:
1) Свойство умножения:
\[AB=0 \Rightarrow A=0 \text{ или } B=0.\]
2) Решение уравнений вида \(x^2=a\):
если \( a>0\), то \( x=\pm\sqrt{a};\)
если \( a<0\), то действительных решений нет.
3) Свойство степени:
\((ab)^n = a^nb^n\).
а) Первое уравнение уже разложено на множители. По правилу нулевого множителя получаем два случая:
\(x+y=0\) и \(x-y=0\). Получаем две системы уравнений, каждую из которых решаем методом сложения, и находим два решения системы.
б) Во втором уравнении произведение равно нулю, значит либо \(x=7y\), либо \(x=-7y\). В каждом случае подставляем в уравнение окружности \(x^2+y^2=100\) и находим \(y^2\), затем \(y\) и \(x\). Для каждого знака \(y\) получаем свою точку, поэтому решений четыре.
в) Уравнение \((x-3)(y-5)=0\) означает, что точка пересечения окружности \(x^2+y^2=25\) лежит либо на прямой \(x=3\), либо на прямой \(y=5\). Подстановка даёт: при \(x=3\) два значения \(y\), а при \(y=5\) только \(x=0\), всего три решения.
г) Из \(x(y+1)=0\) получаем два случая. При \(x=0\) первое уравнение превращается в \(-y^2=50\), что невозможно для действительных \(y\). При \(y=-1\) получаем \(x^2=51\), откуда два значения \(x\). Поэтому система имеет два решения.
Вернуться к содержанию учебника