Упражнение 502 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 146

\((ax^2-2x+b)(x^2+ax-1)=\)

\(=ax^2\cdot x^2+ax^2\cdot ax+ax^2\cdot(-1)+(-2x)\cdot x^2+(-2x)\cdot ax+(-2x)\cdot(-1)+b\cdot x^2+b\cdot ax+b\cdot(-1)=\)

\(=ax^4+a^2x^3-ax^2-2x^3-2ax^2+2x+bx^2+abx-b=\)

\(=ax^4+(a^2-2)x^3+(b-3a)x^2+(ab+2)x-b\)

\(\begin{cases} b-3a=8,\\ ab+2=-2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} b=8 + 3a,\\ ab=-2-2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} b=8 + 3a,\\ a(8 + 3a)=-4 \end{cases}\)

\(a(8+3a)=-4\)

\(8a+3a^2+4=0\)

\(3a^2+8a+4=0\)

\(D=8^2-4\cdot3\cdot4=\)

\(=64-48=16>0\) - два корня.

\(a_1=\dfrac{-8+4}{2\cdot3}=\frac{-4}{6}=-\dfrac{2}{3}\).

\(a_2=\dfrac{-8-4}{2\cdot3}=\frac{-12}{6}=-2\).

Если \(a=-\dfrac{2}{3}\), то

\(b=8+3\cdot\left(-\dfrac{2}{3}\right) = 8 - 2=6\).

Если \(a=-2\), то

\(b=8+3\cdot(-2) = 8 - 6=2\).

Ответ: \(a =-2\), \(b = 2\) или \(a = -\dfrac{2}{3}\), \(b = 6\).

Пояснения:

Использованные правила:

1) Раскрытие скобок (распределительный закон): каждое слагаемое первой скобки умножаем на каждое слагаемое второй скобки.

2) Приведение подобных членов: слагаемые с одинаковой степенью \(x\) складываются отдельно.

3) Решение квадратного уравнения 

\(Ax^2+Bx+C=0\)

по дискриминанту:

\( D=B^2-4AC\).

Если \(D > 0\), то

\(x=\dfrac{-B\pm\sqrt{D}}{2A}.\)

Сначала перемножаем два трёхчлена, получая сумму всех попарных произведений. Затем группируем слагаемые по степеням \(x\). Так мы явно видим коэффициенты при \(x^2\) и при \(x\): это соответственно \(b-3a\) и \(ab+2\).

По условию задачи эти коэффициенты равны \(8\) и \(-2\), поэтому составляем систему:

\[\begin{cases}b-3a=8,\\ ab+2=-2.\end{cases}\]

Из первого уравнения выражаем \(b\) через \(a\) и подставляем во второе. Получается квадратное уравнение относительно \(a\), у которого два корня. Для каждого найденного \(a\) вычисляем \(b\) по формуле \(b=8+3a\). Поэтому получаем две пары \((a,b)\).